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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 10

Derive.

J (v) = ( v^3 - 2 v ) ( v^(- 4) + v^(- 2) )

Passo 1

Opa, vamos fazer essa questão! O enunciado nos dá:

J (v) = ( v^3 - 2 v ) ( v^(- 4) + v^(- 2) )

E pede pra a gente derivar! Para isso vamos usar a regra do produto:

f^' (x) = (g (x) h (x))^' = h (x) g^' (x) + g (x) h ' ( x )

Passo 2

Primeiro precisamos “dividir” a nossa função em duas partes que se multiplicam:

J (v) = ( v^3 - 2 v ) ( v^(- 4) + v^(- 2) )

Nesse caso temos:

g (v) = v^3 - 2 v

h (v) = v^(- 4) + v^(- 2)

Vamos derivar cada uma separadamente:

g (v) = v^3 - 2 v

g^' (v) = 3 v^2 - 2

Agora h ( v ) :

h (v) = v^(- 4) + v^(- 2)

h ' (v) = - 4 v^(- 5) - 2 v^(- 3)

Agora substituímos na regra:

f^' (x) = (g (x) h (x))^' = h (x) g^' (x) + g (x) h ' ( x )

J^' (v) = (v^(- 4) + v^(- 2)) (3 v^2 - 2) + (v^3 - 2 v) (- 4 v^(- 5) - 2 v^(- 3))

J^' (v) = (3 v^(- 2) - 2 v^(- 4) + 3 - 2 v^(- 2)) + (- 4 v^(- 2) - 2 + 8 v^(- 4) + 4 v^(- 2))

Temos então que:

J^' (v) = v^(- 2) + 6 v^(- 4) + 1

Prontinho!!

Resposta

J^' (v) = v^(- 2) + 6 v^(- 4) + 1

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