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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.5 - Ex. 4

Esboce o gráfico.

y = (x)/(x + 1)

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = x != 1 .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Vamos então aplicar:

f^' (x) = ((x)/(x + 1))^' = ((x)^' (x + 1) - (x) (x + 1)^')/([x + 1]^2) = (1 (x + 1) - (x) (1 + 0))/((x + 1)^2) = (x + 1 - x)/((x + 1)^2) = (1)/((x + 1)^2)

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) :

f^' (x) vai ser sempre positiva, assim:

f é estritamente crescente

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = ((1)/((x + 1)^2))^' = ((1)^' ((x + 1)^2) - (1) ((x + 1)^2)^')/([(x + 1)^2]^2) = (0 ((x + 1)^2) - (1) 2 (x + 1) (x + 1)^')/((x + 1)^4) = (- 2 (x + 1) (1 + 0))/((x + 1)^4) = (- 2)/((x + 1)^3)

f^(' ') (x) > 0 em x < - 1 , tendo a concavidade voltada para cima, e f^(' ') (x) < 0 em x > - 1 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em - 1 , pois nesse ponto f não existe.

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) (x)/(x + 1) = 1

underset(x -> - oo)(lim) (x)/(x + 1) = 1

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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