Esboce o gráfico.

y = x / (x + 1)

Passo 1

Falaee, tudo tranquilinho??

Bom... o enunciado nos pediu para esboçarmos o gráfico de y :

y = x x + 1

Para isso, primeiramente, iremos determinar o domínio dessa função, que é o conjunto de x onde a função está definida.

Em seguida, deveremos encontrar os interceptos (onde o gráfico corta o eixo x e onde corta o eixo y ).

Depois, iremos calcular as assíntotas verticais e horizontais, se houver. Para encontrar as assíntotas verticais, iremos identificar os pontos em que o denominador de uma função racional é zero. E, para as horizontais, analisaremos o comportamento da função para x → ± ∞ .

Em seguida, iremos identificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função!

Agora bora lá! 😉

Passo 2

Primeiro vamos determinar o domínio D f .

Para isso, temos que veronde a função não está definida!

E isso é simples! Veja que se x = - 1 , o nosso denominador será zero:

y 0 = - 1 - 1 + 1 = - 1 0

E isso é um valor indeterminado!!

Assim, o domínio da nossa função são todos os números reais, exceto x = - 1 :

D f = x ∈ R | x ≠ - 1

Note também que já identificamos uma assíntota vertical em x = - 1 😉

Passo 3

Agora vamos identificar os interceptos:

Fazendo y = 0 , vemos que o gráfico cruza x em:

0 = x x + 1

x = 0

Assim, vemos que o gráfico intercepta na origem (e assim nem precisamos fazer para x = 0 porque vai dar na mesa coisa hehe).

Logo, o gráfico intercepta ambos os eixos na origem, ou seja, no ponto 0,0 .

Passo 4

Agora vamos verificar se teremos assíntotas horizontais!

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x → + ∞ e x → - ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x x + 1 = 1

lim x → - ∞ ⁡ x x + 1 = 1

Passo 5

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da divisão para achar f ' x :

x n ' = n x n - 1

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Vamos então aplicar:

f ' x = x x + 1 '

Aplicando a regra da divisão:

f ' x = x ' x + 1 - x x + 1 ' x + 1 2

Derivando:

f ' x = 1 x + 1 - x 1 + 0 x + 1 2

Desenvolvendo a equação:

f ' x = x + 1 - x x + 1 2

f ' x = 1 x + 1 2

Agora vamos analisar o sinal de f ' x .

Note que para qualquer valor de x teremos um resultado positivo por conta daquele expoente 2 ali!!

Com isso, podemos concluir que f ' x vai ser sempre positiva, assim:

f é estritamente crescente

Passo 6

Podemos ainda achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f ' ' x :

f ' ' x = f ' f ' x = 1 x + 1 2 '

= 1 ' x + 1 2 - 1 x + 1 2 ' x + 1 2 2

= 0 x + 1 2 - 1 2 x + 1 x + 1 ' x + 1 4

= - 2 x + 1 1 + 0 x + 1 4

= - 2 x + 1 3

f ' ' x > 0 em x < - 1 , tendo a concavidade voltada para cima, e f ' ' x < 0 em x > - 1 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em - 1 , pois nesse ponto f não existe.

Passo 7

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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