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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.5 - Ex. 9

Esboce o gráfico.

y = (x^4)/(4) - (3 x^2)/(2) + 2 x + 1

Passo 1

Primeiro vamos determinar o domínio, temos aqui que é D_f = R .

Agora vamos achar os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos usar a regra do polinômio e da função constante para achar f^' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

Vamos então aplicar:

f^' (x) = ((x^4)/(4) - (3 x^2)/(2) + 2 x + 1)^' = (4 x^3)/(4) - 2 * (3 x)/(2) + 2 + 0 = x^3 - 3 x + 2

Passo 2

Agora vamos analisar o sinal de f^' (x) igualando a zero:

x^3 - 3 x + 2 = 0 -> x = 1 e x = - 2

Temos que f^' (x) > 0 em:

]- 2,1[ e ]1 , + oo[

E f^' (x) < 0 em:

]- oo , - 2[

Temos que:

f é estritamente crescente em ]- 2,1[ e ]1 , + oo[

f é estritamente decrescente em ]- oo , - 2[

Passo 3

Vamos achar os pontos de inflexão e como se comporta a concavidade através de f^(' ') (x) :

f^(' ') (x) = f^' (f^' (x)) = (x^3 - 3 x + 2)^' = 3 x^2 - 3

Igualando a 0 :

3 x^2 - 3 = 0 -> x = +- 1

f^(' ') (x) > 0 em x < - 1 e x > 1 , tendo a concavidade voltada para cima, e f^(' ') (x) < 0 em - 1 < x < 1 , tendo a concavidade voltada para baixo.

O ponto de inflexão é em +- 1 .

Passo 4

Para esboçar o gráfico vamos calcular os limites de f para x -> + oo e x -> - oo :

underset(x -> + oo)(lim) (x^4)/(4) - (3 x^2)/(2) + 2 x + 1 = + oo

underset(x -> - oo)(lim) (x^4)/(4) - (3 x^2)/(2) + 2 x + 1 = + oo

Passo 5

Pronto, agora podemos esboçar o gráfico, ficando desse jeito:

Resposta

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