25-26. Aproxime f' (1) considerando o quociente de diferenças:

f(1 + h) - f(1) / h

Para valores de h perto de 0 ; depois, encontre o valor exato de f(1) por derivação.

26. f(x) = 1 / x^2

Passo 1

Então pessoal, inicialmente a questão quer que aproximemos f ' ( 1 ) utilizando o quociente de diferenças dado para valores de h perto de 0 . Um valor possível seria 0,01 , certo? Sendo assim, aplicando esse valor de h teremos:

f 1 + h - f ( 1 ) h = f 1 + 0,01 - f ( 1 ) 0,01

f 1,01 - f ( 1 ) 0,01

Mas a nossa função é a seguinte:

f x = 1 x 2

Então os valores de f 1,01 e f 1 seriam:

f 1,01 = 1 1,01 2 = 0,980296

f 1 = 1 1 2 = 1

Passo 2

Agora que encontramos os valores que queríamos, substituindo no quociente, teremos:

f 1,01 - f ( 1 ) 0,01 = 0,980296 - 1 0,01 ≅ - 1,9704

Tudo bem, primeiro resultado encontrado! Agora, para compararmos, precisamos descobrir o valor exato de f ' 1 utilizando derivação! Utilizando a regra da potência, conforme estudamos, teremos:

f x = x - 2

f ' x = - 2 . x - 2 - 1 = - 2 x 3

Agora substituindo f ' 1 , teremos:

f ' 1 = - 2 1 3 = - 2

Note que os resultados são muito próximos, mas com a aproximação que fizemos lá na primeira resolução houve uma diferença considerável nas respostas!

Resposta

f 1,01 - f ( 1 ) 0,01 ≅ - 1,9704

f ' 1 = - 2

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