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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.1 - Ex. 15

Nos Exercícios 11-18, determine o coeficiente angular do gráfico da função em um ponto dado. Em seguida, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico naquele ponto.

h t = t 3 ,       ( 2,8 )

Passo 1

Relembrando a equação para determinar o coeficiente angular da curva no ponto dado:

m = lim x → 0 ⁡ h t 0 + x - h t 0 x

Passo 2

Substituindo a função h t na equação acima:

m = lim x → 0 ⁡ t + x 3 - t 3 x

Substituindo x = 0 , vemos que não adianta muito.

m = lim x → 0 ⁡ t + x 3 - t 3 x = t + 0 3 - t 3 0 = 0 0

Aí temos que fazer algumas mexidas para sair desse problema. Vamos começar abrindo o termo t + x 3 , lembrando que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 :

m = lim x → 0 ⁡ t 3 + 3 t 2 x + 3 t x 2 + x 3 - t 3 x

m = lim x → 0 ⁡ 3 t 2 x + 3 t x 2 + x 3 x

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ 3 t 2 + 3 t x + x 2 = 3 t 2 + 3 t ∙ 0 + 0 2 = 3 t 2

Agora vamos substituir o valor de t dado:

m = 3 2 2 = 3 ∙ 4 = 12

Passo 4

Lembrando da equação da tangente

y - h a = m t - a

Agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y - 8 = 12 t - 2

Resposta

m = 12

y - 8 = 12 x - 2

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