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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 10

Use a Definição 2.2 . 1 para encontrar f ' x e, então, encontre a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = a .

f x = 1 x 2 ; a = - 1

Passo 1

Primeiros vamos usar a Definição 2.2 . 1 para encontrar a derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Vamos então aplicar:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ 1 x + h 2 - 1 x 2 h = lim h → 0 ⁡ 1 x 2 + 2 x h + h 2 - 1 x 2 h =

= lim h → 0 ⁡ x 2 - x 2 + 2 x h + h 2 x 2 + 2 x h + h 2 x 2 h = lim h → 0 ⁡ x 2 - x 2 + 2 x h + h 2 x 2 + 2 x h + h 2 x 2 ⋅ 1 h = lim h → 0 ⁡ x 2 - x 2 - 2 x h - h 2 h x 2 + 2 x h + h 2 x 2 =

= lim h → 0 ⁡ - 2 x h - h 2 h x 2 + 2 x h + h 2 x 2 = lim h → 0 ⁡ - 2 x - h x 2 + 2 x h + h 2 x 2 = - 2 x - 0 x 2 + 2 x ⋅ 0 + 0 2 x 2 =

= - 2 x x 4 = - 2 x 3

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta tangente ao gráfico de y = f x em x = - 1 .

A equação da reta tangente é do seguinte formato:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Onde x 0 , y 0 é o ponto da reta tangente à curva e f ' x 0 é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Vamos achar o ponto x 0 , y 0 , já temos que x 0 = - 1 , vamos então aplicar esse valor em f x para achar y 0 :

y 0 = f - 1 = 1 - 1 2 = 1 1 = 1

E agora vamos achar a inclinação f ' - 1 , substituindo na derivada que achamos no passo 1 :

f ' - 1 = - 2 - 1 3 = - 2 - 1 = 2

Passo 4

Pronto, temos só que substituir os valores na equação, o ponto - 1 , 1 e a inclinação f ' - 1 = 2 :

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0 →

y - 1 = 2 x - - 1 →

y - 1 = 2 x + 1 →

y = 2 x + 2 + 1 →

y = 2 x + 3

Resposta

f ' x = - 2 x 3 e y = 2 x + 3

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