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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.3 - Ex. 25

25-26. Aproxime f ' 1 considerando o quociente de diferenças:

f 1 + h - f ( 1 ) h

Para valores de h perto de 0 ; depois, encontre o valor exato de f ' 1 por derivação.

25. f x = x 3 - 3 x + 1

Passo 1

Então pessoal, inicialmente a questão quer que aproximemos f ' ( 1 ) utilizando o quociente de diferenças dado para valores de h perto de 0 . Um valor possível seria 0,01 , certo? Sendo assim, aplicando esse valor de h teremos:

f 1 + h - f ( 1 ) h = f 1 + 0,01 - f ( 1 ) 0,01

f 1,01 - f ( 1 ) 0 , 0 1

Mas a nossa função é a seguinte:

f x = x 3 - 3 x + 1

Então os valores de f 1,01 e f 1 seriam:

f 1,01 = 1,01 3 - 3 . 1,01 + 1 = - 0,999699

f 1 = 1 3 - 3.1 + 1 = - 1

Passo 2

Agora que encontramos os valores que queríamos, substituindo no quociente, teremos:

f 1 , 0 1 - f ( 1 ) 0 , 0 1 = - 0,999699 - - 1 0,01 ≅ 0,0301

Tudo bem, primeiro resultado encontrado! Agora, para compararmos, precisamos descobrir o valor exato de f ' 1 utilizando derivação! Utilizando a regra da potência, conforme estudamos, teremos:

f ' x = 3 x 3 - 1 - 3.1 x 1 - 1 + 0

f ' x = 3 x 2 - 3

Lembrando que a derivada da constante é zero, tudo bem? Agora substituindo f ' 1 , teremos:

f ' 1 = 3.1 2 - 3 = 0

Note que os resultados são muito próximos, mas com a aproximação que fizemos lá na primeira resolução houve uma diferença considerável nas respostas!

Resposta

f 1,01 - f ( 1 ) 0,01 ≅ 0,0301

f ' 1 = 0

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