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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.1 - Ex. 29

Variação da área do círculo Qual é a taxa de variação da área de um círculo A = π r 2 em relação ao raio quando este for r = 3 ?

Passo 1

A primeira parte do problema é perceber que foi dada uma função que relaciona a área com o raio

f r = π r 2

Como ele quer a taxa de variação, ele está pedindo a derivada da função no ponto r = 3 . Por isso precisamos lembrar que

f ' r = lim h → 0 ⁡ f r + h - f r h

Passo 2

Agora precisamos substituir a função f r na equação acima:

f ' r = lim h → 0 ⁡ π r + h 2 - π r 2 h

Substituindo h = 0 , vemos que dá ruim

f ' r = lim h → 0 ⁡ π r + h 2 - π r 2 h = π r + 0 2 - π r 2 0 = 0 0

Portanto precisamos fazer algumas mexidas para sairmos dessa enrascada. Podemos começar abrindo o termo quadrático

f ' r = lim h → 0 ⁡ π r 2 + 2 h r + h 2 - π r 2 h

f ' r = lim h → 0 ⁡ π r 2 + 2 π h r + π h 2 - π r 2 h

f ' r = lim h → 0 ⁡ 2 π h r + π h 2 h

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h

f ' r = lim h → 0 ⁡ 2 π r + π h = 2 π r + π ∙ 0 = 2 π r

Passo 4

Substituindo o valor de r dado

f ' r = 2 π ∙ 3 = 6 π

Agora é só correr para o sucesso!

Resposta

f ' r = 6 π

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