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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.2 - Ex. 17

Use a Fórmula (12) para encontrar (d y)/(d x) .

y = x^2 - x

Passo 1

Vamos usar a Fórmula 1 2 para encontrar a derivada:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (Delta y)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x)

Passo 2

Vamos então aplicar:

(d y)/(d x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (f (x + Delta x) - f (x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) ((x + Delta x)^2 - (x + Delta x) - (x^2 - x))/(Delta x)

Agora vamos manipular o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) ((x + Delta x)^2 - (x + Delta x) - (x^2 - x))/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) (x^2 + 2 x Delta x + Delta x^2 - x - Delta x - x^2 + x)/(Delta x) =

= underset(Delta x -> 0)(lim) (2 x Delta x + Delta x^2 - Delta x)/(Delta x)

E por último vamos cancelar o termo Delta x do numerador e do denominador e vamos aplicar o limite:

underset(Delta x -> 0)(lim) (2 x Delta x + Delta x^2 - Delta x)/(Delta x) = underset(Delta x -> 0)(lim) 2 x + Delta x - 1 = 2 x + 0 - 1 = 2 x - 1

Resposta

(d y)/(d x) = 2 x - 1

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