25-32 Use a derivada dada para encontrar todos os pontos críticos de f e, em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum desses. Suponha, em cada caso, que f seja contínua em toda parte.

26. f'(x) = 4*x^3 - 9*x

Passo 1

Galera, vamos começar lembrando quais são as condições necessárias para x 0 ser ponto crítico da nossa função:

- f ' x 0 = 0

-   f não é diferenciável em x 0 .

Perceba que a nossa função f ' x é diferenciável para todo x , já que é um polinômio.

Passo 2

Agora, o que nos resta é igualar a nossa função a zero. Assim, vamos ter

4 x 3 - 9 x = 0

x 4 x 2 - 9 = 0

x = 0

ou

4 x 2 - 9 = 0

x = ± 3 2

Passo 3

Nós já achamos os nossos pontos críticos. O próximo passo é aplicar o teste da primeira derivada. Para isso, a gente vai precisar estudar o sinal da nossa função antes e depois dos nossos pontos críticos. Eu acho que isso vai ficar mais fácil com o auxílio de uma tabela. Então, bora lá.

Passo 4

Agora que já montamos a nossa tabela, é só analisar os dados obtidos. Então, vem comigo!!!

Como à esquerda de - 3 2 é negativo e à direita é positivo, 3 2 é mínimo relativo. O mesmo ocorre com o 3 2 . No caso do 0 , à sua esquerda é positivo e à sua direita é negativo. Portanto, é máximo relativo.

Resposta

- 3 2 : mínimo relativo;

0 : máximo relativo;

3 2 : mínimo relativo.

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