33-36 Encontre os extremos relativos usando os testes da derivada segunda e da derivada primeira.

35- f(x) = sen^2(x), 0 < x < pi

Passo 1

Galera, vamos começar derivando a função. Utilizando a regra da cadeia, temos:

f ´ x = 2 c o s 2 x

Agora, vamos derivar novamente. Utilizando a regra da cadeia e do produto, temos:

f ´ ´ x = 0 × s e n 2 x + 2 × 2 × - s e n 2 x = - 4 s e n 2 x

Pronto, já temos as duas derivadas. Fácil né ?!

Passo 2

Vamos determinar os pontos críticos igualando f ´ ( x ) a zero. Assim, temos:

2 c o s 2 x = 0

c o s 2 x = 0

Gente, não se esqueçam que cosseno só vai ser zero para ângulos de π 2 + 2 k π ,     k ∈ Z e 3 π 2 + 2 k π ,     k ∈ Z . Dessa forma,

2 x = π 2

x = π 4

Ou

2 x = 3 π 2

x = 3 π 4

Para x = π 4 :

y = s e n 2 × π 4 = 1

Para x = 3 π 4 :

y = s e n 2 × 3 π 4 = - 1

O próximo passo é saber se f ´ ´ x 0 > 0 , f ´ ´ x 0 < 0 ou f ´ ´ x 0 = 0 . Isso que vai determinar qual tipo de extremos relativo nós encontramos.

Passo 3

Para x 0 = π 4 ,

f ´ ´ x 0 = - 4 s e n ( 2 × π 4 )

f ´ ´ x 0 = - 4

Para x 0 = 3 π 4 ,

f ´ ´ x 0 = - 4 s e n ( 2 × 3 π 4 )

f ´ ´ x 0 = + 4

Como f ´ ´ π 4 < 0 , ( π 4 ,   1 ) é um máximo relativo. Já f ´ ´ 3 π 4 > 0 , o que torna ( 3 π 4 ,   - 1 ) um mínimo relativo.

Resposta

( π 4 ,   1 ) máximo relativo e 3 π 4 ,   - 1 mínimo relativo

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