25-32 Use a derivada dada para encontrar todos os pontos críticos de f e, em cada um deles, determine se ocorre um máximo relativo, um mínimo relativo ou nenhum desses. Suponha, em cada caso, que f seja contínua em toda parte.

28. f'(x) = (x^2 - 7) / raiz(x^2 + 4, 3)

Passo 1

Galera, vamos começar lembrando quais são as condições necessárias para x 0 ser ponto crítico da nossa função:

- f ' x 0 = 0

-   f não é diferenciável em x 0 .

Perceba que o denominador da nossa função racional nunca se anula, pois a parte de dentro é a parábola   x 2 com concavidade para cima deslocada quatro unidades para cima sobre o eixo y. Ou seja, ela não intercepta o eixo x em nenhum ponto. Além disso, é sempre positiva.

Assim, a nossa f é diferenciável para todo x .

Passo 2

Agora, o que nos resta é igualar a nossa função a zero. Assim, vamos ter

x 2 - 7 x 2 + 4 3 = 0

x 2 = 7

x = ± 7

Passo 3

Nós já achamos os nossos pontos críticos. O próximo passo é aplicar o teste da primeira derivada. Para isso, a gente vai precisar estudar o sinal da nossa função antes e depois dos nossos pontos críticos. Eu acho que isso vai ficar mais fácil com o auxílio de uma tabela. Então, bora lá.

Passo 4

Agora que já montamos a nossa tabela, é só analisar os dados obtidos. Então, vem comigo!!!

Como à esquerda de   - 7   é positivo e à direita é negativo,   - 7   é máximo relativo. Já no caso do   7   , à sua esquerda é negativo e à sua direita é positivo. Portanto, é mínimo relativo.

Resposta

- 7   : máximo relativo;

7   : mínimo relativo.

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