6. a) Mostre que f(x) = 1 - x^5 e g(x) = 3*x^4 - 8*x^3 têm pontos estacionários em x = 0 .

b) O que o teste da derivada segunda diz sobre a natureza desses pontos estacionários?

c) O que o teste da derivada primeira diz sobre a natureza desses pontos estacionários?

Passo 1

a) Então galera, para encontrarmos os pontos estacionários das funções devemos derivar nossa função e igualar a derivada a zero, saca só:

f x = 1 - x 5

f ' x = - 5 x 4

- 5 x 4 = 0

x = 0

Ademais:

g x = 3 x 4 - 8 x 3

g ' x = 12 x 3 - 24 x 2

12 x 3 - 24 x 2 = 0

12 x 2 x - 2 = 0

Dessa igualdade tiramos que x = 0 ou x = 2 , mas só queremos analisar x = 0 (sugestão do enunciado). Dessa forma, fica provado que as funções possuem pontos estacionários em x = 0 .

Passo 2

b) Então pessoal, derivando pela segunda vez nossas funções, teremos:

f ' ' x = - 20 x 3

f ' ' 0 = 0

Para a segunda função:

g ' ' x = 36 x 2 - 48 x

g ' ' x = 12 x 3 x - 4

g ' ' 0 = 0

Como os resultados deram nulos, então não podemos dizer nada sobre a natureza dos pontos!

Passo 3

c) Aqui o que temos que fazer é analisar como a derivada primeira se comporta antes e depois do ponto crítico em questão. Para x < 0 temos que:

f ' - 1 = - 5 . - 1 4 = - 5 < 0

Ou seja, f ' x < 0 (decrescente). Para x > 0 temos que:

f ' 1 = - 5.1 4 = - 5 < 0

Ou seja, f ' x < 0 (decrescente). Como não há alteração na derivada, então não há extremo relativo em x = 0 para f ( x ) .

Passo 4

Agora para a segunda função, ok? Para x < 0 temos que:

g ' - 1 = 12 . - 1 2 - 1 - 2 = - 36 < 0

Ou seja, g ' x < 0 (decrescente). Para x > 0 temos que:

g ' 1 = 12.1 2 1 - 2 = - 12 < 0

Ou seja, g ' x < 0 (decrescente). Como não há alteração na derivada, então não há extremo relativo em x = 0 para g ( x ) também. E essa é a nossa análise da questão, pessoal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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