Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 6

6. a) Mostre que e têm pontos estacionários em .

b) O que o teste da derivada segunda diz sobre a natureza desses pontos estacionários?

c) O que o teste da derivada primeira diz sobre a natureza desses pontos estacionários?

Passo 1

a) Então galera, para encontrarmos os pontos estacionários das funções devemos derivar nossa função e igualar a derivada a zero, saca só:

Ademais:

Dessa igualdade tiramos que ou , mas só queremos analisar (sugestão do enunciado). Dessa forma, fica provado que as funções possuem pontos estacionários em .

Passo 2

b) Então pessoal, derivando pela segunda vez nossas funções, teremos:

Para a segunda função:

Como os resultados deram nulos, então não podemos dizer nada sobre a natureza dos pontos!

Passo 3

c) Aqui o que temos que fazer é analisar como a derivada primeira se comporta antes e depois do ponto crítico em questão. Para temos que:

Ou seja, (decrescente). Para temos que:

Ou seja, (decrescente). Como não há alteração na derivada, então não há extremo relativo em para .

Passo 4

Agora para a segunda função, ok? Para temos que:

Ou seja, (decrescente). Para temos que:

Ou seja, (decrescente). Como não há alteração na derivada, então não há extremo relativo em para também. E essa é a nossa análise da questão, pessoal!