Enunciado

26. Prove que a função do Exemplo 2 é contínua em -1, mas não é derivável naquela número.

Passo 1

Para determinar se f(x) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:

  1. f ( x 0 ) tem que existir;
  2. lim x → x 0 ⁡ f x   tem que existir;
  3. lim x → x 0 ⁡ f x   = f ( x 0 ) .

Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f(x) é continua em x0. Além disso, sabemos do exemplo 2 que

x 2 - 1   s e   x < - 1 1 - x 2   s e - 1 ≤ x ≤ 1 x 2 - 1   s e   1 < x  

Passo 2

Ao substituir x 0   =   - 1 na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a segunda função, pois a mesma está definida para x 0   =   - 1 . Com isso temos que f   (   - 1   )   =   0 .

Passo 3

Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , lim x → x 0 ⁡ f x   existe se

Assim, temos que :

Com isso podemos afimar que lim x → x 0 ⁡ f x   existe e é igual a 0.

Passo 4

Verificando a ultima condição , temos:

Com isso, como os 3 itens necessários foram atendidos; pode-se afirmar que f (x) é continua em x0 = -1.

Passo 5

Uma função f definida num intervalo aberto que contém x1 será derivável em x1 se e somente se f ' + x 1   e   f ' - ( x 1 ) ambas existirem e forem iguais.

Passo 6

Na segunda parte da questão ele nos pede para provarmos que f(x) não é derivável em x1 = -1. Porém, para provar isso devemos determinar a derivada à esquerda e à direita de f (x) em x1 = -1, para vê se a condição para que ela seja derivável é aceita.

A derivada à esquerda de f em x1, denotada por f’ - (x1), será definda por

f - x 1 ' = lim x → x 1 - ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

A derivada à direita de f em x1, denotada por f’ + (x1), será definda por

f + x 1 ' = lim x → x 1 + ⁡ f x - f ( x 1 ) x - x 1

Passo 7

A derivada à esquerda de f(X) em x1 = -1 será:

Passo 8

A derivada à direita de f(X) em x1 = -4 será :

Como obtemos que f ’ ( - 1 ) - ≠   f ’ ( - 1 ) + , podemos afirmar que f ’ ( - 1 ) não existe. Assim, f ( X ) não é derivável em   x 1   =   - 1 . Com isso, percebe-se que uma função ser contínua em X 1 , não necessariamente implica que ela é derivável em X 1 .

Resposta

f   ( x )   é   c o n t i n u a   e m   x 1   =   - 1 .

A s s i m ,   f ( X )   n ã o   é   d e r i v á v e l   e m   x 1   =   - 1 .

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27. Dada f x = x 3 / 2 . (a) Prove que f é continua à direita de 0. (b) Prove que f ´ + 0 existe e ache seu valor. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra ( b )
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28. Dada f x = 1 - x 2 3 / 2 . (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado - 1,1 . (b) Prove que f é derivável no intervalo aberto ( - 1,1 ) e que ambas f ´ + - 1ef ´ - ( 1 ) existem. (c) Faça um
24. Dada f x = 8 - x . (a) Prove que f é contínua à esquerda de 8. (b) Prove que f ´ - 8 não existe. (c) Faça um esboço do gráfico de f . Letra (b)