Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 26
26. Prove que a função do Exemplo 2 é contínua em -1, mas não é derivável naquela número.
Passo 1
Para determinar se f(x) é continua em um ponto deve-se atender a 3 pré-requisitos, ou seja , para uma função ser continua em x0:
- tem que existir;
- tem que existir;
- .
Assim, deve-se verificar cada um dos itens ácima para dizer se f(x) é continua em x0. Além disso, sabemos do exemplo 2 que
Passo 2
Ao substituir na função, percebemos que a expressão onde vamos substituir esse valor é a segunda função, pois a mesma está definida para . Com isso temos que
Passo 3
Para verificar que um limite existe devemos lembrar do conceito de limites laterais, ou seja , existe se
Assim, temos que :
Com isso podemos afimar que existe e é igual a 0.
Passo 4
Verificando a ultima condição , temos:
Com isso, como os 3 itens necessários foram atendidos; pode-se afirmar que f (x) é continua em x0 = -1.
Passo 5
Uma função f definida num intervalo aberto que contém x1 será derivável em x1 se e somente se ambas existirem e forem iguais.
Passo 6
Na segunda parte da questão ele nos pede para provarmos que f(x) não é derivável em x1 = -1. Porém, para provar isso devemos determinar a derivada à esquerda e à direita de f (x) em x1 = -1, para vê se a condição para que ela seja derivável é aceita.
A derivada à esquerda de f em x1, denotada por f’ - (x1), será definda por
A derivada à direita de f em x1, denotada por f’ + (x1), será definda por
Passo 7
A derivada à esquerda de f(X) em x1 = -1 será:
Passo 8
A derivada à direita de f(X) em x1 = -4 será :
Como obtemos que , podemos afirmar que não existe. Assim, não é derivável em. Com isso, percebe-se que uma função ser contínua em , não necessariamente implica que ela é derivável em .