Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 28a
28. Dada (a) Prove que é contínua no intervalo fechado (b) Prove que é derivável no intervalo aberto e que ambas existem. (c) Faça um esboço do gráfico de .
Letra ( a )
Passo 1
O enunciado fornece a função f e o intervalo [ -1, 1 ] e solicita que mostremos que a função é contínua neste intervalo.
Devemos lembrar então que uma função é contínua em um determinado ponto se o limite for igual ao valor da função no ponto. Para que ela seja contínua em todo intervalo, ela deve estar definida em todos os pontos do intervalo.
Passo 2
O termo da raiz não pode ser negativo, de modo que para função estar bem definida devemos ter (1 – x2)3 ≥ 0. Assim, f só estaria bem definida se x2 ≤ 1, que é exatamente o intervalo dado. Assim, em todos os pontos do intervalo a função está bem definida.
Passo 3
Tomemos a Є [ -1, 1 ]. Como -1 ≤ a ≤ 1, segue que
Calculemos agora o limite:
Vemos então que 
para um x = a arbitrário pertencendo ao intervalo [-1,1]. Como a é arbritário, a relação vale para todos os pontos do intervalo, de modo que a função é contínua no intervalo todo.
Resposta
Demonstração.