28. Dada f(x) = (1 - x^2)^(3/2) (a) Prove que f é contínua no intervalo fechado [-1,1]. (b) Prove que f é derivável no intervalo aberto (-1,1) e que ambas f' + (-1) * e * f' - 1 existem. (c) Faça um esboço do gráfico de f .

Letra ( a )

Passo 1

O enunciado fornece a função f e o intervalo [ -1, 1 ] e solicita que mostremos que a função é contínua neste intervalo.

Devemos lembrar então que uma função é contínua em um determinado ponto se o limite for igual ao valor da função no ponto. Para que ela seja contínua em todo intervalo, ela deve estar definida em todos os pontos do intervalo.

Passo 2

O termo da raiz não pode ser negativo, de modo que para função estar bem definida devemos ter (1 – x2)3 ≥ 0. Assim, f só estaria bem definida se x2 ≤ 1, que é exatamente o intervalo dado. Assim, em todos os pontos do intervalo a função está bem definida.

Passo 3

Tomemos a Є [ -1, 1 ]. Como -1 ≤ a ≤ 1, segue que

Calculemos agora o limite:

Vemos então que para um x = a arbitrário pertencendo ao intervalo [-1,1]. Como a é arbritário, a relação vale para todos os pontos do intervalo, de modo que a função é contínua no intervalo todo.

Resposta

Demonstração.

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