Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.Revisão - Ex. 27

27. Em cada parte, encontre f - 1 ( x ) se a inversa existir.

  1. f x = 8 x 3 - 1 .
  2. f x = x 2 - 2 x + 1 .
  3. f x = e x 2 + 1 .
  4. f x = ( x + 2 ) / ( x - 1 ) .
  5. f x = sin ⁡ 1 - 2 x x ,             2 4 + π ≤ x ≤ 2 4 - π .
  6. f x = 1 1 + 3 arctan ⁡ x

Passo 1

Belezoca galeris, queremos encontrar a inversa das funções f ( x ) dadas, e nesse caso o método é a gente isolar agora o termo x , em função de f ( x ) . Saca só, para f x = 8 x 3 - 1 , vamos ter que:

f x = 8 x 3 - 1

f x + 1 = 8 x ³

x 3 = f x + 1 8

x = f x + 1 8 3 = 1 2 f x + 1 3

Logo, destrocando os termos, temos que a inversa de f x = 8 x 3 - 1 , é dada por:

f - 1 x = 1 2 x + 1 3

Passo 2

Na letra (b), temos a função f x = x 2 - 2 x + 1 , e a malandragem aqui é que esse polinômio pode ser escrito como um produto notável, saca só, se formos calcular as raízes dessa função do segundo grau, temos:

x = 2 ± 4 - 4.1 . 1 2 = 2 ± 0 2

x = 1

Isso quer dizer que temos apenas uma raíz da função, logo podemos escrever ela como o produto notável:

x 2 - 2 x + 1 = x - 1 2

Logo:

f x = x - 1 2

± f x = x - 1

x = ± f x + 1

E destrocando os termos, temos que a inversa é:

f - 1 x = ± x + 1

Mas o detalhe é que aquele sinal de ± faz como que nossa função assuma dois formatos ao mesmo tempo, logo isso não pode acontecer, e nossa inversa não existe.

Passo 3

Na letra (c), a função é f x = e x 2 + 1 , logo:

f x - 1 = ( e x ) ²

f x - 1 = e x

x = ln ⁡ f x - 1

Mas podemos reescrever aquela raiz como:

x = ln ⁡ f x - 1 = x = ln ⁡ f x - 1 1 2

E de acordo com a propriedade de expoentes dentro do logaritmo, temos que:

x = 1 2 ln ⁡ f x - 1

E destrocando os termos, a função inversa é:

f - 1 x = 1 2 ln ⁡ x - 1

Passo 4

Agora na letra (d), a função é f x = ( x + 2 ) / ( x - 1 ) , logo:

f x = x + 2 x - 1

x - 1 f x = ( x + 2 )

x f x - f x = x + 2

x f x - x = f x + 2

Colocando o x em evidencia:

x f x - 1 = f x + 2

Logo:

x = f x + 2 f x - 1

E destrocando os termos, descobrimos que a inversa é:

f - 1 x = x + 2 x - 1

Passo 5

Na letra (e), temos f x = sin ⁡ 1 - 2 x x :

f x = sin ⁡ 1 - 2 x x

arcsin ⁡ f ( x ) = 1 - 2 x x

arcsin ⁡ f x = 1 x - 2

arcsin ⁡ f x + 2 = 1 x

Logo:

x = 1 arcsin ⁡ f x + 2

Portanto, a inversa é:

f - 1 x = 1 arcsin ⁡ x + 2

Passo 6

E por fim, na letra (f), temos o seguinte, f x = 1 1 + 3 arctan ⁡ x , logo:

f x = 1 1 + 3 arctan ⁡ x

1 f x = 1 + 3 arctan ⁡ x

1 f x - 1 = 3 arctan ⁡ x

arctan ⁡ x = 1 3 1 f x - 1

Logo:

x = tan ⁡ 1 3 1 f x - 1

Portanto a função inversa é:

f - 1 x = tan ⁡ 1 3 x - 1 3

Resposta

  1. f - 1 x = 1 2 x + 1 3
  2. não existe
  3. f - 1 x = 1 2 ln ⁡ x - 1
  4. f - 1 x = x + 2 x - 1
  5. f - 1 x = 1 arcsin ⁡ x + 2
  6. f - 1 x = tan ⁡ 1 3 x - 1 3
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Esboce o gráfico da função: f x = - 1 , x ≤ - 5 25 - x 2 , - 5x5 x - 5 , x ≥ 5
Use os gráficos das funções f e g na figura ao lado para resolver os seguintes problemas.Encontre f ( - 2 ) e g ( 3 ) .Com quais valores de x temos f x = g x ? Com quais valores de x temos que f x2 ?
19. Em cada parte descreva a família de curvas. x - a 2 + y - a 2 = 1 2 . y = a + ( x - 2 a ) ² ²
20. Encontre uma equação para uma parábola que passe pelos pontos 2 ,0 ,( 8 ,18 ) e - 8 ,18 .
18.Escreva uma equação para o gráfico obtido refletindo o gráfico de y = x - 1 , pelo eixo y, então distendendo-o verticalmente por um fator de 2, depois transladando-o para baixo 3 unidade e, por fim