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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.3 - Ex. 37

Expresse a equação:

x = 5 3 s e n 2 π t + 5 2 c o s ⁡ ( 2 π t )

Na forma x = A s e n ( ω t + θ ) e use um recurso gráfico para confirmar que ambas as equações têm o mesmo gráfico.

Passo 1

Cara, eu acredito que a questão esteja com erro e fosse:

x = 5 3 2 s e n 2 π t + 5 2 c o s ⁡ ( 2 π t )

Vamos abrir um pouquinho x = A s e n ( ω t + θ ) e comparar com x = 5 3 2 s e n 2 π t + 5 2 c o s ⁡ ( 2 π t ) depois.

Podemos fazer:

x = A s e n ω t + θ

x = A s e n ω t cos ⁡ θ + s e n θ cos ⁡ ω t

E em:

x = 5 3 2 s e n 2 π t + 5 2 cos ⁡ 2 π t

x = 5 3 2 s e n 2 π t + 1 2 cos ⁡ 2 π t

Opa, comparando as duas:

x = A s e n ω t cos ⁡ θ + s e n θ cos ⁡ ω t

x = 5 3 2 s e n 2 π t + 1 2 cos ⁡ 2 π t

Podemos dizer que:

A = 5

c o s ⁡ θ = 3 2

sen ⁡ θ = 1 2

Com isso, temos que θ = π 6 . E também temos:

s e n ω t = s e n ( 2 π t )

Logo, ω = 2 π . Com isso, já podemos montar a função:

x = 5 s e n 2 π t + π 6

Passo 2

Comparando os gráficos:

x = 5 s e n 2 π t + π 6

E x = 5 3 2 s e n 2 π t + 5 2 c o s ⁡ ( 2 π t ) :

Certinho!

Resposta

x = 5 s e n 2 π t + π 6

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