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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 27

27 - Densidade variável - Suponha que a densidade do fio do Exemplo 4 seja δ = k   s e n θ   (k constante). Determine o centro de massa.

Passo 1

Consideramos o exemplo 4 teremos:

M x = ∫ 0 π a     a   s e n   θ k   s e n   θ d θ

Assim:

M x = ∫ 0 π a 2 k   s e n 2 θ d θ = a 2 k ∫ 0 π   s e n 2 θ d θ

Utilizando a tabela de integrais trigonométricas, teremos:

M x = a 2 k 1 2 θ - s e n 2 θ 4 0 π = a 2 k 2 θ - s e n 2 θ 2 0 π

Substituindo com os limites:

a 2 k 2 π - s e n 2 π 2 - 0 - s e n 0 2

Para s e n   2 π = 0 ,   s e n   0 = 0

Assim:

a 2 k 2 π - 0 = a 2 k π 2

Passo 2

Deste modo:

M y = ∫ 0 π a ( a cos ⁡ θ ) k   s e n   θ d θ = a 2 k ∫ 0 π cos ⁡ θ   s e n   θ   d θ

Utilizando o método de substituição u d u

u = s e n   θ

d u = cos ⁡ θ   d θ

d θ = 1 d u = 1 cos ⁡ θ d u

Inserindo na integral:

a 2 k ∫ 0 π c o s θ   1 c o s θ u   d u = a 2 k ∫ 0 π u   d u = a 2 k u 2 2 0 π = a 2 k 2 u 2 0 π

Substituindo para u = s e n   θ

a 2 k 2 s e n 2 θ 0 π

Substituindo, para:

s e n 2 π = 0   e   s e n   0 = 0

a 2 k 2 s e n 2 π - s e n 2 0 = a 2 k 2 0 = 0

Passo 3

Resolvendo:

M =   ∫ 0 π a k   s e n θ   d θ = a k ∫ 0 π   s e n θ   d θ =   a k - c o s θ 0 π

Dado: cos ⁡ π =   - 1   e cos ⁡ 0 = 1

Substituindo:

a k - c o s π - ( - cos ⁡ 0 ) = a k 1 + 1 = 2 a k

Passo 4

Assim descobriremos o centro da massa, para:

x - = M y M = 0 2 a k = 0

y - = M x M = a 2 k π 2 2 a k = a 2 k π 4 a k = a π 4

Assim o centro da massa se encontra no ponto: 0 , a π 4

Resposta

0 , a π 4

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