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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 35

35 - A região quadrada com vértices (0, 2), (2, 0), (4, 2) e (2, 4) é girada em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume e a área de superfície do sólido.

Passo 1

Primeiramente vamos criar a imgem no GeoGebra:

Observando a imagem vemos que o centro está nas coordenadas: 2,2 . Lá está o centro da figura.

Passo 2

Assim o volume será:

V = ( 2 π ) ( y - ) ( A )

V = V o l u m e

y - = D i s t â n c i a   d o   c e n t r o   a o   e i x o . D i g i t e   a   e q u a ç ã o   a q u i .

A = á r e a   d a   f i g u r a

Podemos calcular a área da figura

A = D ⋅ d 2 = 4 ⋅ 4 2 = 16 2 = 8

Calculando o volume teremos:

V = 2 π ⋅ 2 ⋅ 8 = 32 π   u . v .

Passo 3

Agora foi solicitado que seja calculado a área superficial, podemos obtê-la da seguinte forma:

S = ( 2 π ) ( y - ) ( L )

L = é o perímetro, vamos descobir a medida do lado a:

x 2 = 2 2 + 2 2 ⇒ x 2 = 8 → x = 8  

Assim o perímetro do losango é: 4 ⋅ 8

Inserindo no teorema acharemos a resposta:

S =   2 π 2 4 8 = 4 π ⋅ 8 2 = 32 2   π   u . a

Resposta

Volume: 32 π   u . v .

Área: 32 2   π   u . a .

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