Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 27
27. A equação diferencial para a velocidade de uma massa em queda sujeita à resistência do ar proporcional à velocidade instantânea é:
Em que é uma constante de proporcionalidade positiva.
a) Resolva a equação sujeita à condição inicial .
b) Determine a velocidade limite, ou terminal, da massa.
c) Se a distância está relacionada com a velocidade através da igualdade , encontre uma expressão explícita para , supondo que .
Passo 1
a) A equação que nos foi dada é a seguinte:
Simplificando tudo por e reescrevendo a equação de outra forma, teremos:
O formato dessa equação é:
No qual e são funções APENAS de . Esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:
Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!
Passo 2
Da nossa expressão tiramos que:
Substituindo na integral, teremos:
Resolvendo a integral do expoente:
Subsituindo na solução:
Passo 3
Agora temos que resolver essa última integral que apareceu na nossa solução, ok? A integral é:
Para resolve-la vamos fazer a seguinte substituição:
Derivando:
Substituindo, teremos:
Subsituindo na solução:
E essa é a nossa expressão geral! No entanto, a questão quer que resolvamos para a condição inicial . Para isso, teremos:
Substituindo na solução teremos como resultado:
Passo 4
b) A velocidade terminal ocorre para um tempo longo, isto é, para quando . Aplicando, teremos:
Como os dois últimos termos zeram, nos resta apenas:
E essa é a velocidade terminal.
Passo 5
c) A expressão para velocidade que encontramos foi:
Como , teremos:
Reescrevendo:
Aqui dá para resolver por variáveis separáveis, ou seja, basta isolarmos tudo que tem de um lado e tudo que tem do outro, saca só:
Então só precisamos integrar ambos os lados!
Passo 6
Integrando, teremos:
Para a integral do lado esquerdo, teremos:
Para a primeira integral do lado direito, teremos:
Já para a última integral teremos que fazer a seguinte substituição, saca só:
Derivando, teremos:
Substituindo, teremos:
Voltando para :
Show!
Passo 7
Agora que resolvemos todas as integrais vamos compactar o resultado, saca só:
Juntando em uma constante só:
E essa é a nossa expressão, a princípio. No entanto, o enunciado quer que encontremos o resultado para a condição inicial , então aplicando a condição obteremos:
Substituindo na nossa expressão, teremos como resultado final:
E está aí nossa resolução!
Resposta
a)
b)
c)