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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 38

Nos problemas 36-38, use os resultados do problema 35 para encontrar a família isogonal que intercepta a família a um parâmetro y = c 1 . x com o ângulo dado.

α = 3 0 °

Passo 1

Na questão 35, provamos que

d y d x = f ( x , y ) ± t a n ⁡ ( α ) 1 ∓ f ( x , y ) . t a n ⁡ ( α )   ( I )

Então vamos usar essa fórmula para encontrar a família isogonal nesse problema

Pra começar, vamos encontrar f ( x , y ) derivando a função que ele deu:

y = c 1 . x   ( I I )

d y d x = c 1   ( I I I )

Mas vamos isolar o c 1 na equação ( I I ) , pra aí podermos substituir na equação ( I I I ) :

y = c 1 . x

c 1 = y x

Substituindo:

d y d x = y x = f ( x , y )     ( I V )

Passo 2

Vamos substituir ( I V ) em ( I ) , e vamos também substituir o ângulo dado no enunciado, que é α = 60 °

d y d x = y x ± t a n ⁡ ( 3 0 ° ) 1 ∓ y x . t a n ⁡ ( 3 0 ° )

d y d x = y x ± 3 3 1 ∓ 3 y 3 x

d y d x = 3 y 3 x ± 3 x 3 x 3 x 3 x ∓ 3 y 3 x

Então:

d y d x = 3 y ± 3 x 3 x ∓ 3 y

Agora é só resolver essa equação diferencial

Passo 3

Temos

d y d x = 3 y ± 3 x 3 x ∓ 3 y     ( V )

Isso é uma EDO homogênea, então vamos chamar y = z . x

E aí vamos calcular o novo d y d x usando a regra do produto, já que y = z x :

d y d x = d z x d x

d y d x = d z d x x + d x d x . z

d y d x = d z d x x + z

Substituindo na equação ( V ) :

d z d x x + z = 3 ( z . x ) ± 3 x 3 x ∓ 3 ( z . x )

d z d x x = 3 ( z . x ) ± 3 x 3 x ∓ 3 ( z . x ) - z

Fazendo MMC em z :

d z d x x = 3 ( z . x ) ± 3 x 3 x ∓ 3 ( z . x ) - z . 3 x ∓ 3 z . x 3 x ∓ 3 ( z . x )

d z d x x = 3 ( z . x ) ± 3 x 3 x ∓ 3 ( z . x ) - z . 3 x ∓ 3 z ² . x 3 x ∓ 3 ( z . x )

d z d x x = ± 3 x ± 3 z ² . x 3 x ∓ 3 ( z . x )

Dividindo em cima e embaixo por x :

d z d x x = ± 3 ± 3 z ² 3 ∓ 3 z

Passo 4

Paramos aqui olha:

d z d x x = ± 3 ± 3 z ² 3 ∓ 3 z

Agora o que vamos fazer é deixar tudo que é z de um lado e tudo que é x do outro. Pra isso vamos multiplicar em cruz, fechou?

3 ∓ 3 z ± 3 ± 3 z ² d z = 1 x d x

Integrando dos dois lados:

∫ 3 ∓ 3 z ± 3 ± 3 z ² d z = ∫ 1 x d x

± 3 arctan ⁡ z - ln ⁡ 1 + z 2 2 = ln ⁡ x + c 2

Agora é hora de voltar pra variável y , lembrando que y = z . x → z = y x :

± 3 arctan ⁡ y x - ln ⁡ 1 + y x 2 2 = ln ⁡ x + c 2

Multiplicando tudo por 2:

± 2 3 arctan ⁡ y x - ln ⁡ 1 + y x 2 = 2 ln ⁡ x + c 2

E fimmm

Resposta

± 2 3 arctan ⁡ y x - ln ⁡ 1 + y x 2 = 2 ln ⁡ x + c 2

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