A taxa na qual uma droga é disseminada na corrente sanguínea é dada pela equação diferencial em que e são constantes positivas. A função descreve a concentração de droga na corrente sanguínea em relação ao tempo . Encontre o valor limite de quando . Quando a concentração atinge a metade desse valor limite? Suponha que .

Reescrevendo nossa expressão de outra maneira, teremos:

O formato dessa equação é:

No qual e são funções APENAS de . Esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Da nossa equação podemos tirar que:

Substituindo na nossa expressão, teremos:

Para a integral do expoente, temos:

Substituindo:

Agora resolvendo a última integral que nos restou, teremos:

Substituindo na solução, teremos:

Simplificando tudo:

E essa é a nossa expressão! No entanto a questão nos dá uma condição inicial que é . Aplicando a condição:

Substituindo, teremos:

E essa sim é a nossa expressão final!

Agora que temos a função que descreve o problema podemos fazer qualquer coisa com essa informação. A questão quer que encontremos o valor limite de quando . Aplicando isso, teremos:

Como o segundo termo zera, teremos:

E isso nos diz que sempre terá um resquício da droga no nosso organismo, o que confirma que nosso resultado está correto! Tendo em vista esse resultado, o enunciado também pede que calculemos quando que a concentração atinge a metade desse valor limite que encontramos agora. Temos:

Aplicando em ambos os lados:

E nesse tempo a concentração atinge a metade do valor limite! 😉