A taxa na qual uma droga é disseminada na corrente sanguínea é dada pela equação diferencial em que A e B são constantes positivas. A função X t descreve a concentração de droga na corrente sanguínea em relação ao tempo t . Encontre o valor limite de X quando t → ∞ . Quando a concentração atinge a metade desse valor limite? Suponha que X 0 = 0 .

X t = A B - A B e B t Valor limite: X ∞ = A B Tempo para chegar no valor limite: t = ln ⁡ 2 B

Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 28

A taxa na qual uma droga é disseminada na corrente sanguínea é dada pela equação diferencial em que e são constantes positivas. A função descreve a concentração de droga na corrente sanguínea em relação ao tempo . Encontre o valor limite de quando . Quando a concentração atinge a metade desse valor limite? Suponha que .

Passo 1

Então pessoal, mesmo sem muitas informações conseguimos criar uma equação diferencial que faça sentido pro problema. Podemos dizer que é a quantidade de droga injetada na corrente sanguínea, ok? Perfeito. Além disso, sabemos que o corpo joga as toxinas da droga pra fora do corpo com o passar do tempo, então podemos criar uma expressão do tipo:

Aonde é apenas uma constante que acompanha a expressão, já que o enunciado diz que é um valor que existe. Não sabemos se a expressão está correta, mas ela faz bastante sentido. O que temos que fazer agora é encontrar uma expressão para , então bora que bora!

Passo 2

Reescrevendo nossa expressão de outra maneira, teremos:

O formato dessa equação é:

No qual e são funções APENAS de . Esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:

Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!

Da nossa equação podemos tirar que:

Substituindo na nossa expressão, teremos:

Passo 3

Para a integral do expoente, temos:

Substituindo:

Agora resolvendo a última integral que nos restou, teremos:

Substituindo na solução, teremos:

Simplificando tudo:

E essa é a nossa expressão! No entanto a questão nos dá uma condição inicial que é . Aplicando a condição:

Substituindo, teremos:

E essa sim é a nossa expressão final!

Passo 4

Agora que temos a função que descreve o problema podemos fazer qualquer coisa com essa informação. A questão quer que encontremos o valor limite de quando . Aplicando isso, teremos:

Como o segundo termo zera, teremos:

E isso nos diz que sempre terá um resquício da droga no nosso organismo, o que confirma que nosso resultado está correto! Tendo em vista esse resultado, o enunciado também pede que calculemos quando que a concentração atinge a metade desse valor limite que encontramos agora. Temos:

Aplicando em ambos os lados:

E nesse tempo a concentração atinge a metade do valor limite! 😉

Resposta

Valor limite:

Tempo para chegar no valor limite:

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