Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 27
27-28. Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série é convergente.
27.
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Nossa série é essa aqui
Precisamos justificar porque o Teste da Integral não pode ser usado! Então a ideia é relembrar dos critérios de uso do teste!
Bora lá?
Passo 2
O teste da integral só pode ser utilizado dado algumas condições, pessoal.
Segundo a seção 11.3 do Stewart, temos que para o teste ser realizado a função , que é o argumento da série, deve ser uma função:
*contínua
*positiva e
*decrescente em .
Sendo assim, temos que provar que a série não cumpre essas condições.
Passo 3
No nosso caso temos que:
A função é contínua para o intervalo : sim! Cosseno é contínua sempre e é contínuo no intervalo porque a descontinuidade seria em , mas esse não está no nosso intervalo!
A função é positiva para o intervalo : Para a função é negativa, pois:
Como uma das condições já não foi cumprida, então provamos que, de fato, o teste da integral não pode ser utilizado para determinar se a série em questão é convergente ou divergente.