27-28. Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série é convergente.

27. ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ π n n

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Nossa série é essa aqui

�� n = 1 ∞ cos ⁡ π n n

Precisamos justificar porque o Teste da Integral não pode ser usado! Então a ideia é relembrar dos critérios de uso do teste!

Bora lá?

Passo 2

O teste da integral só pode ser utilizado dado algumas condições, pessoal.

Segundo a seção 11.3 do Stewart, temos que para o teste ser realizado a função f n = a n , que é o argumento da série, deve ser uma função:

*contínua

*positiva e

*decrescente em 1 ,   ∞ .

Sendo assim, temos que provar que a série não cumpre essas condições.

Passo 3

No nosso caso temos que:

a n = cos ⁡ π n n = f ( n )

A função é contínua para o intervalo 1 ,   ∞ : sim! Cosseno é contínua sempre e 1 / n é contínuo no intervalo porque a descontinuidade seria em n = 0 , mas esse não está no nosso intervalo!

A função é positiva para o intervalo 1 ,   ∞ : Para n = 1 a função é negativa, pois:

f 1 = cos ⁡ π 1 = - 1

Como uma das condições já não foi cumprida, então provamos que, de fato, o teste da integral não pode ser utilizado para determinar se a série em questão é convergente ou divergente.

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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