Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 100c
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura no instante (medido em dias) a uma profundidade (medida em metros) pode ser modelada pela função:
Onde e é uma constante positiva.
c) Mostre que satisfaz a equação do calor para uma certa constante .
Passo 1
Eaee, tudo tranquilinho??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função com duas variáveis que representa um estudo de penetração do congelamento:
Onde:
- é a temperatura;
- é a profundidade em metros;
- é o tempo em dias;
- é uma constante positiva;
- E .
Queremos demonstrar que satisfaz a equação do calor para uma certa constante .
Onde é uma derivada parcial de segunda ordem que pode ser entendida como:
Lembrando que para resolver uma derivada parcial, devemos escolher a variável em relação à qual deseja derivar (, no nosso caso) e trate todas as outras variáveis como constantes.
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Derivando pela primeira vez, aplicando a regra da soma, temos:
A derivada da constante é zero, portanto:
Colocando para fora e aplicando a regra da multiplicação, temos:
Resolvendo a derivada com o auxílio da Regra da Cadeia, obtemos:
Simplificando, temos:
Agora vamos derivar mais uma vez!!!
Passo 3
Antes de derivar novamente, vamos distribuiro para ficar melhor para derivarmos (já te explico):
Agora podemos derivar novamente colocando o para fora da derivada e derivamos apenas o termo entre colchetes utilizando a derivada da soma:
Aplicando a Regra do Produto, obtemos:
Simplificando a expressão:
Passo 4
Tudo bem, agora que determinamos vamos ver se a equação do calor é satisfeita.
De acordo com o enunciado:
Mas quem é ? Se liga:
Substituindo na equação, teremos:
Simplificando os termos semelhantes:
Como e são constantes, então temos que , de fato, é uma constante! Portanto satisfaz a equação do calor !
Resposta
Demonstração