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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.3 - Ex. 100c

No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em metros) pode ser modelada pela função:

T x ,   t = T o + T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

Onde ω = 2 π 365 e λ é uma constante positiva.

c) Mostre que T satisfaz a equação do calor T t = k T x x para uma certa constante k .

Passo 1

Eaee, tudo tranquilinho??? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função com duas variáveis que representa um estudo de penetração do congelamento:

T x ,   t = T o + T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

Onde:

  • T é a temperatura;
  • x é a profundidade em metros;
  • t é o tempo em dias;
  • λ é uma constante positiva;
  • E ω = 2 π 365 .

Queremos demonstrar que T satisfaz a equação do calor T t = k T x x para uma certa constante k .

Onde T x x é uma derivada parcial de segunda ordem que pode ser entendida como:

T x x = ∂ ² T ∂ x ²

Lembrando que para resolver uma derivada parcial, devemos escolher a variável em relação à qual deseja derivar ( t , no nosso caso) e trate todas as outras variáveis como constantes.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando pela primeira vez, aplicando a regra da soma, temos:

∂ T ∂ x = ∂ ∂ x T o + ∂ ∂ x T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

A derivada da constante T 0 é zero, portanto:

∂ T ∂ x = ∂ ∂ x T 1 e - λ x s e n ω t - λ x

Colocando T 1 para fora e aplicando a regra da multiplicação, temos:

∂ T ∂ x = T 1 ⋅ e - λ x ∂ ∂ x s e n ω t - λ x + ∂ ∂ x e - λ x s e n ω t - λ x

Resolvendo a derivada com o auxílio da Regra da Cadeia, obtemos:

∂ T ∂ x = T 1 e - λ x ⋅ - λ ⋅ s e n ω t - λ x + e - λ x ⋅ cos ⁡ ω t - λ x ⋅ - λ

Simplificando, temos:

∂ T ∂ x = - λ T 1 ⋅ e - λ x s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x

Agora vamos derivar mais uma vez!!!

Passo 3

Antes de derivar novamente, vamos distribuiro e - λ x para ficar melhor para derivarmos (já te explico):

∂ T ∂ x = - λ T 1 ⋅ e - λ x s e n ω t - λ x + e - λ x cos ⁡ ω t - λ x

Agora podemos derivar novamente colocando o - λ T 1 para fora da derivada e derivamos apenas o termo entre colchetes utilizando a derivada da soma:

∂ 2 T ∂ x 2 = - λ T 1 ⋅ ∂ T ∂ x e - λ x s e n ω t - λ x + ∂ T ∂ x e - λ x cos ⁡ ω t - λ x

Aplicando a Regra do Produto, obtemos:

∂ 2 T ∂ x 2 = - λ T 1 ⋅ { e - λ x ⋅ - λ ⋅ s e n ω t - λ x + cos ⁡ ω t - λ x

+ e - λ x ⋅ cos ⁡ ω t - λ x ⋅ - λ - s e n ω t - λ x ⋅ - λ

Simplificando a expressão:

∂ 2 T ∂ x 2 = 2 λ 2 T 1 e - λ x ⋅ cos ⁡ ω t - λ x

Passo 4

Tudo bem, agora que determinamos T x x vamos ver se a equação do calor é satisfeita.

De acordo com o enunciado:

T t = k T x x

Mas quem é T t ? Se liga:

T t = ∂ T ∂ t = T 1 e - λ x ⋅ cos ⁡ ω t - λ x ⋅ ω

∂ T ∂ t = ω T 1 e - λ x ⋅ cos ⁡ ω t - λ x

Substituindo na equação, teremos:

ω T 1 e - λ x ⋅ cos ⁡ ω t - λ x = k ⋅ 2 λ 2 T 1 e - λ x ⋅ cos ⁡ ω t - λ x

Simplificando os termos semelhantes:

k ⋅ 2 λ 2 = ω

∴ k = ω 2 λ 2

Como ω e λ são constantes, então temos que k , de fato, é uma constante! Portanto T satisfaz a equação do calor T t = k T x x !

Resposta

Demonstração

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