Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.3 - Ex. 28
27-28. Explique por que o Teste da Integral não pode ser usado para determinar se a série é convergente.
28.
Passo 1
Olá, galerinha! Tudo na boa?
O teste da integral só pode ser utilizado dado algumas condições, pessoal. Segundo a seção 11.3 do Stewart, temos que para o teste ser realizado a função , que é o argumento da série, deve ser uma função contínua, positiva e decrescente em .
Sendo assim, a ideia aqui é que temos que provar que a série não cumpre essas condições e que por isso não se pode usar o teste da integral nela.
Vamos lá?
Passo 2
No nosso caso temos que:
A função é contínua e positiva para o intervalo:
já que estamos analisando somente os valores de positivos.
Opa! A função não é totalmente decrescente no intervalo em questão, galera. Se a plotarmos em um gráfico, notaremos que ela oscila, em máximos e mínimos locais, variando em um intervalo crescente e outro decrescente.
Mas mesmo sem o gráfico já podemos prever isso, pois já sabemos que a própria função tem comportamento oscilatório:
Sendo assim, então provamos que, de fato, o teste da integral não pode ser utilizado para determinar se a série em questão é convergente ou divergente.
Resposta
A função não cumpre o requisito de ser decrescente no intervalo estudado.