Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 30
27-30. Verdadeiro/Falso. Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
30. A área envolvida pela elipse é .
Passo 1
Então pessoal, a equação da elipse que nos foi dada é a seguinte:
Isolando , a fim de encontrar uma expressão do tipo , teremos:
Ok! Para encontrarmos a área dessa elipse basta calcularmos a integral dessa função. Pera, mas e os intervalos de integração? Como a elipse pode ser dividida em quatro partes, calculemos em apenas uma parte e no final multiplicamos por ! A elipse tem raio , logo a integral que temos que calcular é:
Passo 2
Para a nossa integral, a substituição indicada é a trigonométrica. Como nossa raíz é do tipo , então a substituição será:
Como no nosso caso , então:
E disso tiramos que:
Substituindo na nossa integral:
Utilizando a relação fundamental da trigonometria:
Ok, simplificamos mais ainda nossa integral!
Passo 3
Para a integral que chegamos, utilizando a relação:
Encontramos como resultado:
Voltando à variável , temos:
Substituindo os intervalos de integração, teremos:
Logo, podemos dizer que a afirmação, de fato, é verdadeira!
Resposta
A afirmação é verdadeira.