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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 15

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

15.

∫ x 9 - x 2   d x  

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Nessa integral podemos usar a substituição trigonométrica onde

x = 1 3 s e n   u

Mas podemos resolver de uma maneira mais simples se escolhermos a substituição

u = 9 - x 2 d u = - 2 x   d x

d x =   - d u 2 x

E assim nossa integral fica

∫ x 9 - x 2   d x =   - ∫ 1 2 u d u

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral

- ∫ 1 2 u d u = - 1 2 ∫ u - 1 2   d u =   - u 1 2 + C

Mas sabemos que u = 9 - x 2

Então

- u 1 2 + C = - 9 - x 2 + C

Resposta

- 9 - x 2 + C

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