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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 16

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

16.

∫ x 2 4 + x 2   d x  

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso I.

Passo 2

Nessa integral podemos usar a substituição trigonométrica onde

x = 2 ⋅ t g   u d x = 2 c o s 2 u d u = 2 ⋅ s e c 2 u   d u

Vamos usar também a relação trigonométrica onde

1 + t g 2 ѳ = s e c 2 ѳ

E aí podemos dizer que

4 + x 2 = 4 + 4 t g 2 u = 4 1 + t g 2 u = 4 s e c 2 u

E assim nossa integral fica

∫ x 2 4 + x 2   d x =   ∫ ( 2 ⋅ t g   u ) 2 4 s e c 2 u ⋅ 2 ⋅ s e c 2 u   d u = 2 ∫ t g 2 u   d u = 2 ∫ ( s e c 2 u - 1 ) d u

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral

2 ∫ ( s e c 2 u - 1 ) d u = 2 ⋅ ∫ s e c 2 u   d u - ∫ d u

Começando por

∫ s e c 2 u   d u

Vamos fazer a substituição onde

v = t g   u d v = s e c 2 u   d u

Então

∫ s e c 2 u   d u = ∫ d v = v + C = t g   u + C

A outra integral é simples

∫ d u = u + C

Então ficamos com

2 ⋅ ∫ s e c 2 u   d u - ∫ d u = 2 ⋅ t g   u - u + C

Passo 4

Mas x = 2 ⋅ t g   u   então u = a r c t g x 2

Logo

2 ⋅ t g   u - u + C = x - 2 ⋅ a r c t g x 2 + C

Resposta

x - 2 ⋅ a r c t g x 2 + C

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