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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 13

Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.

12.

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 - 1)) d x , x > 1

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral, para isso a gente vai usar algumas substituições trigonométricas.

Vamos usar essa imagem de referência

Esse caso se encaixa no caso III.

Passo 2

Agora podemos fazer uma substituição

x = sec u d x = sec u * t g u d u

Vamos considerar também que

s e c^2 u - 1 = t g^2 u x^2 - 1 = t g^2 u

Então nossa integral fica

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 - 1)) d x = int (1)/(sec^2 u * t g u) sec u * t g u d u = int (1)/(sec u) d u = int cos u d u

Passo 3

Vamos resolver essa integral

int cos u d u = s e n u + C

Mas s e c^2 u - 1 = t g^2 u e x = sec u , então x^2 - 1 = s e n^2 u * x^2 , isso nos leva a

s e n u = (sqrt(x^2 - 1))/(x)

então

s e n u + C = (sqrt(x^2 - 1))/(x) + C

Resposta

(sqrt(x^2 - 1))/(x) + C

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