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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 31

Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 1 ∞ 1 + 2 n 3 n

Passo 1

Então meu amigo, tudo certo?

Para determinarmos se a série é convergente ou divergente devemos fazer o teste de divergência. Se ela for divergente, tudo bem, então é!

No entanto, se ela não for divergente, a única hipótese possível é de que ela é convergente. Essa é a técnica que devemos utilizar, beleza?

A definição do teste diz que se o limite de uma série não existir ou for diferente de 0 . Então a série certamente diverge.

Caso a série seja convergente, então devemos calcular sua soma, assim como o enunciado nos pede.

Passo 2

Essa série está com uma cara de série geométrica em! Vamos tentar reescrever esse argumento de tal forma que pareça com uma série geométrica, se liga:

∑ n = 1 ∞ 1 + 2 n 3 n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 2 n 3 n

Perceba que temos a somatória de duas séries. Uma somatória de duas séries só será

convergente se ambas as séries forem convergente.

Dito isso, vamos nos relembrar a definição da série geométrica.

Para a série geométrica, temos que:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a + a r + a r 2 + …

No qual r é a relação comum e a é o primeiro termo da sequência. Se r ≥ 1 , a série é divergente. Caso contrário, se r < 1 , então a série é convergente e sua soma é:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Passo 3

Agora que já temos a teoria necessária em mãos, então vamo que vamo!

∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 2 n 3 n = ∑ n = 1 ∞ 1 3 n + ∑ n = 1 ∞ 2 3 n

Para a primeira somatória, temos que r = 1 3 < 1 , então é convergente.

Para a segunda somatória, temos que r = 2 3 < 1 , então é convergente.

Então a série originaç também é convergente. E é esperado que seja estimado a soma.

Passo 4

Descobrindo a soma:

∑ n = 1 ∞ a r n - 1 = a 1 - r

Fazendo a primeira soma:

∑ n = 0 ∞ 1 3 n =   1 3 1 - 1 3 = 1 3 3 3 - 1 3

Simplificando:

1 3 2 3 = 1 2

Para a segunda somatória:

∑ n = 0 ∞ 2 3 n = 2 3 1 - 2 3

2 3 1 - 2 3 = 2 3 1 3 = 2  

∴ ∑ n = 1 ∞ 1 3 n + ∑ n = 1 ∞ 2 3 n = 1 2 + 2

5 2

Resposta

∑ n = 1 ∞ 1 + 2 n 3 n   é   c o n v e r g e n t e

∑ n = 1 ∞ 1 3 n + 2 n 3 n = 5 2

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