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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.2 - Ex. 37

27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.

37. ∑ k = 0 ∞ π 3 k

Passo 1

Para vermos se a série é convergente ou divergente devemos utilizar o teste de divergência, pessoal. Esse teste nos diz o seguinte:

“Se lim k → ∞ ⁡ a k = ∄ ou se lim k → ∞ ⁡ a k ≠ 0 , então a série é divergente.”

Sendo assim, devemos aplicar o limite na sequência em questão e analisar seu resultado com base nessa definição. Se fizermos isso, teremos:

a k = π 3 k

lim k → ∞ ⁡ a k = lim k → ∞ ⁡ π 3 k

Passo 2

Esse limite é amplamente discutido na seção 11.1 do Stewart, galera! Esse limite tem dois resultados:

l i m k → ∞ r k = 0

Se 0 < r < 1 .

l i m k → ∞ r k = ∞

Se | r | ≥ 1 . No nosso caso, | r | = π 3 ≥ 1 , então o limite não será determinado. Sendo assim:

lim k → ∞ ⁡ π 3 k = ∞

Como lim k → ∞ ⁡ a k ≠ 0 , então podemos concluir que a série é divergente.

Resposta

∑ k = 0 ∞ π 3 k   é   d i v e r g e n t e

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