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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 21

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

21.

∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ 1 n 2    

Passo 1

Oi, galera! Tudo show?

A questão pede pra gente analisar a série e classificar como convergente ou divergente.

Olha direitinho. Percebeu o - 1 n ? Logo, a gente pode trabalhar com o Teste da Série Alternada!

Pra série alternada ser convergente, ela precisa obedecer a dois critérios:

i   b n + 1 ≤ b n

i i lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Mas quem é nosso b n ?

∑ n = 1 ∞ - 1 n b n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ 1 n 2

Reelembra que temos uma série alternada com valores entre - 1 e 1 , já que no círculo trigonométrico só teremos valores para c o s ⁡ ( x ) nesses pontos:

Passo 2

Temos que:

b n = cos ⁡ 1 n 2

Então vamos aplicar o passo i :

b n + 1 ≤ b n

cos ⁡ 1 ( n + 1 ) 2 ��� cos ⁡ 1 n 2

Se você substituir n = 2 , vai ter os seguintes resultados:

0,9999981196 ≤ 0,9999904807

E essa condição não se faz verdadeira. Vamos analisar a próxima:

Passo 3

Pela segunda condição:

lim n → ∞ ⁡ b n = 0

lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 n 2

Substituindo, como 1 ∞ tende a zero, portanto:

cos ⁡ 1 ∞ 2 = cos ⁡ 0 = 1

Como o resultado deu 1 ≠ 0 , então pela segunda condição estamos diante, finalmente, de uma série divergente!

Resposta

∑ n = 1 ∞ - 1 n cos ⁡ 1 n 2   é   d i v e r g e n t e .

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