28- Uma massa m em uma mola com constante k satisfaz a equação diferencial (veja a Seção 3.7 ) m v ' ' + k v = 0 Em que v ( t ) é o deslocamento da massa no instante t a partir de sua posição de equilíbrio. ( a ) Sejam x 1 = v e x 2 = v ' ; mostre que o sistema resultante é ( b ) Encontre os autovalores da matriz para o sistema no item ( a ) ( c ) Esboce diversas trajetórias do sistema. Escolha uma de suas trajetórias e esboce os gráficos correspondentes de x 1 e de x 2 em função de t . Esboce ambos os gráficos no mesmo conjunto de eixos ( d ) Qual é a relação entre os autovalores da matriz de coeficientes e a frequência natural do sistema mola massa?

b )r = ± k m i c ) x = c 1 cos ⁡ k m t - k m s e n k m t + c 2 s e n k m t k m cos ⁡ k m t d )ω = k m

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 28

28- Uma massa em uma mola com constante satisfaz a equação diferencial (veja a Seção )

Em que é o deslocamento da massa no instante a partir de sua posição de equilíbrio.

Sejam e ; mostre que o sistema resultante é

Encontre os autovalores da matriz para o sistema no item

Esboce diversas trajetórias do sistema. Escolha uma de suas trajetórias e esboce os gráficos correspondentes de e de em função de . Esboce ambos os gráficos no mesmo conjunto de eixos

Qual é a relação entre os autovalores da matriz de coeficientes e a frequência natural do sistema mola massa?

Passo 1

Como e então podemos dizer que:

E que:

(O enunciado está errado!)

Então, arrumando na matriz de coeficientes nós teremos:

Passo 2

Os autovalores dessa matriz serão:

Então os autovalores serão:

Passo 3

Vamos supor que e e ver o campo direcional:

Quando teremos o seguinte caminho:

Com sendo a horizontal.

E a equação característica de e são iguais a:

Porém como é imaginário então os autovetores para serão iguais a:

Com autovetor sendo:

Então a solução será:

Arrumando:

Nos dando uma solução geral igual a:

Lembrando que sempre há outras formas de representar a mesma coisa!

E notou que a frequência natural é igual ao autovalor que é de ? É nessas horas que a matemática e a física se misturam, e isso diz muito sobre o conceito do autovalor.

Resposta

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