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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.1 - Ex. 5

Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.

5.

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n 2

Passo 1

Fala galera!!

Queremos encontrar o raio de convergência da seguinte série de potências:

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n 2

Para isso, vamos começar usando o teste da razão.

Passo 2

O teste diz o seguinte:

Se ∑ a n  é uma série positiva e

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

então:

(a) A série  ∑ a n é absolutamente convergente se L < 1 .

(b) A série  ∑ a n é divergente se L > 1 .

(c) O teste da relação é inconclusivo se L = 1 .

Passo 3

Temos que:

a n = 2 x + 1 n n 2

Então:

a n + 1 = 2 x + 1 n + 1 n + 1 2

Vamos aplicar agora o teste da razão. Assim temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

= lim n → ∞ ⁡ 2 x + 1 n + 1 n + 1 2 2 x + 1 n n 2

= lim n → ∞ ⁡ 2 x + 1 n + 1 n + 1 2 ⋅ n 2 2 x + 1 n

= lim n → ∞ ⁡ 2 x + 1 ⋅ 2 x + 1 n n 2 1 + 1 n 2 ⋅ n 2 2 x + 1 n

= lim n → ∞ ⁡ 2 x + 1 1 + 1 n 2 ⋅ 1 1

= 2 x + 1 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n 2

= 2 x + 1 1 1

= 2 x + 1

Portanto:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 2 x + 1

Passo 4

Assim, a série de potências converge absolutamente para 2 x + 1 < 1 . Ou seja:

2 x + 1 < 1

2 x + 1 2 < 1

x + 1 2 < 1 2

- 1 2 < x + 1 2 < 1 2

- 1 2 - 1 2 < x < 1 2 - 1 2

- 1 < x < 0

A série de potências diverge absolutamente para x + 1 2 > 1 2 .

Portanto, o raio de convergência da série de potências é ρ = 1 2 .

Resposta

ρ = 1 2

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