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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.Revisão - Ex. 28

28. Seja f x = ( a x + b ) / ( c x + d ) . Quais são as condições sobre a, b, c e d, que garantem a existência de f - 1 ? Encontre f - 1 ( x ) .

Passo 1

Belejóia galerinha, queremos encontrar a inversa de f x = ( a x + b ) / ( c x + d ) , e com isso também encontrar as condições sobre a ,   b ,   c e d que garantem a existência dessa inversa. Então saca só, primeiro vamos encontrar a condição de existência sobre f ( x ) . Como temos uma divisão de polinômio, que não pode acontecer é o denomidar ser igual a zero, logo:

c x + d ≠ 0

c x ≠ - d

x ≠ - d c

Passo 2

Show de bola, agora vamos descobrir a condição de existência para f - 1 x , pra isso bora colocar o x em evindência, desse jeito:

f x = a x + b c x + d

c x + d f x = a x + b

c x f x + d f x = a x + b

c x f x - a x = b - d f x

Colanco em evidência:

x c f x - a = b - d f x

x = b - d f x c f x - a

Portanto:

f - 1 x = b - d x c x - a

E devido o denominador obrigatoriamente ter que ser diferente de zero, temos:

c x - a ≠ 0

c x ≠ a

x ≠ a c

Passo 3

Portanto as condições de existência em f x são:

x ≠ - d c ,     x ≠ a c

E f - 1 x é dada por:

f - 1 x = b - d x c x - a

Resposta

As condições de existência em f x são:

x ≠ - d c ,     x ≠ a c

E f - 1 x é dada por:

f - 1 x = b - d x c x - a

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