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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 28

28- Uso de segmentos tangentes para deduzir a fórmula de comprimento das curvas Suponha que f seja lisa em [ a , b ] e divida o intervalo [ a , b ] da maneira usual. Em cada subintervalo x k - 1 , x k , construa o segmento tangente no ponto   ( x k - 1 , f x k - 1 ) , como na figura a seguir.

  1. Mostre que o comprimento k-ésimo segmento tangente ao longo do intervalo [ x k - 1 , x k ] é igual a :

    2. Δ x k 2 + f ' x k - 1 Δ x k 2

  2. Mostre que

lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n ( c o m p r i m e n t o   d o   k - é s i m o   s e g m e n t o   t a n g e n t e = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Que é o comprimento da curva L da curva y = f ( x ) da a para b.

Passo 1

Letra a) Por Pitágoras temos que o tamanho do segmento de reta ( s ) dado na figura é de:

s = Δ x k 2 + Δ y k 2

Porém por se tratar de uma reta temos que o coeficiente angular da mesma é dada por:

m = f ' x k - 1 = Δ y k Δ x k

Logo o Δ y k pode ser substituído por:

f ' x k - 1 × Δ x k = Δ y k

Aplicando em Pitágoras temos:

s = Δ x k 2 + f ' x k - 1 Δ x k 2

Passo 2

Com a equação que acabamos de escrever na letra a podemos fazer o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ ∑ k - 1 n Δ x k 2 + f ' 2 ( x k - 1 Δ x k 2

Se isolarmos Δ x dentro da raiz teremos:

lim n → ∞ ⁡ ∑ k - 1 n 1 + f ' 2 x k - 1   Δ x

Pela soma de Riemann e fazendo Δ x = a - b n = d x temos:

lim n → ∞ ⁡ ∑ k - 1 n 1 + f ' 2 x k - 1   Δ x = ∫ a b 1 + ( f ' ( x )   d x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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