28- Uso de segmentos tangentes para deduzir a fórmula de comprimento das curvas Suponha que seja lisa em e divida o intervalo da maneira usual. Em cada subintervalo , construa o segmento tangente no ponto, como na figura a seguir.
- Mostre que o comprimento k-ésimo segmento tangente ao longo do intervalo é igual a :
- Mostre que
Que é o comprimento da curva L da curva da a para b.
Passo 1
Letra a) Por Pitágoras temos que o tamanho do segmento de reta () dado na figura é de:
Porém por se tratar de uma reta temos que o coeficiente angular da mesma é dada por:
Logo o pode ser substituído por:
Aplicando em Pitágoras temos:
Passo 2
Com a equação que acabamos de escrever na letra a podemos fazer o seguinte:
Se isolarmos dentro da raiz teremos:
Pela soma de Riemann e fazendo temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)