28- Uso de segmentos tangentes para deduzir a fórmula de comprimento das curvas Suponha que f seja lisa em [ a , b ] e divida o intervalo [ a , b ] da maneira usual. Em cada subintervalo x k - 1 , x k , construa o segmento tangente no ponto( x k - 1 , f x k - 1 ) , como na figura a seguir. Mostre que o comprimento k-ésimo segmento tangente ao longo do intervalo [ x k - 1 , x k ] é igual a : Δ x k 2 + f ' x k - 1 Δ x k 2 Mostre que lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n ( c o m p r i m e n t od ok - é s i m os e g m e n t ot a n g e n t e = ∫ a b 1 + f ' x 2 d x é Que é o comprimento da curva L da curva y = f ( x ) da a para b.

Enunciado

Letra a) Por Pitágoras temos que o tamanho do segmento de reta () dado na figura é de:

Porém por se tratar de uma reta temos que o coeficiente angular da mesma é dada por:

Logo o pode ser substituído por:

Aplicando em Pitágoras temos:

Com a equação que acabamos de escrever na letra a podemos fazer o seguinte:

Se isolarmos dentro da raiz teremos:

Pela soma de Riemann e fazendo temos:

Ei, a resposta está no passo a passo :)