Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 6.4 - Ex. 20

Ache a massa total e o centro de massa.

20. Uma barra tem 10 cm e medida da densidade linear em um ponto é uma função linear da medida da distancia ao centro da barra. A densidade linear em cada extremo da barra é 5 g/cm e no centro da barra ela é 3 kg/m.

Passo 1

O primeiro passo e encontrar a densidade, já que uma vez encotrada a função da densidade podemos integra-la para achar a massa total e logo depois o centro de massa.

O exercício nos diz que a densidade é uma função linear, ou seja, ela pode ser esxrita da seguinte forma:

onde é a medida da distância em relação ao começo da barra.

Passo 2

O exercico ainda fornce duas outras informações.

1-a densidade no centro é g/cm ( g/cm). Consideraremos o centro da barra como a posição zero, podemos escrever da seguinte forma: .

2-a densidade no extremo direito é 5 g/cm. Como consideraremos a origem no centro da barra a distanância entre então a posição será metade do comprimento da barra. Podemos escrever então: .

Agora que sabemos essas informações podemos usar um sistems para achar a densidade da barra.

, logo substituindo na segunda equação:

Com isso temos que a densidade dessa barra é escrita da seguinte forma:

Passo 3

Agora para achar a massa total usaremos a seguinte relação:

Onde nessa equação 𝞀 é a densidade do corpo e , nesse caso é metade do comprimento da barra já que adotamos o centro da barra como posição zero. Porem como queremos saber a massa da barra inteira multiplicamos a integral por 2

Com isso temos que a massa total pode ser expressa pela seguinte relação: