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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.Revisão - Ex. 29

29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada:

  1. cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 .
  2. sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13   .

Passo 1

Beleshow meus amores, vamos encontrar o valor exato de cada uma das função, pra isso vamos precisar de alguma propriedades das funções trigonométricas. Saca só, na letra (a), temos cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 , suponha que a = arccos ⁡ 4 5 e b = arcsin ⁡ 5 13 então tems que:

cos ⁡ ( a + b ) = cos ⁡ a cos ⁡ b - sin ⁡ a sin ⁡ b

Logo:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 . cos ⁡ arcsin ⁡ 5 13 - sin ⁡ arccos ⁡ 4 5 . sin ⁡ arcsin ⁡ 5 13

cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 = 4 5 cos ⁡ arcsin ⁡ 5 13 - 5 13 sin ⁡ arccos ⁡ 4 5

Passo 2

Show de bolas, agora outra coisa que a gente pode lembrar é que cos ⁡ x = 1 - sin 2 ⁡ x , e da mesma maneira sin ⁡ x = 1 - cos ² ⁡ x . Logo:

cos ⁡ arcsin ⁡ 5 13 = 1 - sin 2 ⁡ arcsin ⁡ 5 13

cos ⁡ arcsin ⁡ 5 13 = 1 - 5 13 2 = 1 - 25 169 = 169 - 35 169 = 144 169 = 12 13

E para sin ⁡ arccos ⁡ 4 5 , temos:

sin ⁡ arccos ⁡ 4 5 = 1 - cos 2 ⁡ arccos ⁡ 4 5 = 1 - 4 5 2

sin ⁡ arccos ⁡ 4 5 = 1 - 16 25 = 25 - 16 25 = 9 5 = 3 5

Portanto, juntando tudo que encontramos, obtemos que:

cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 = 4 5 cos ⁡ arcsin ⁡ 5 13 - 5 13 sin ⁡ arccos ⁡ 4 5

cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 = 4 5 . 12 13 - 5 13 . 3 5 = 33 65

Passo 3

Belejóia, agora na letra (b) temos sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13   , e sabemos que:

sin ⁡ a + b = sin ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ b cos ⁡ a

Logo:

sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13   = sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 cos ⁡ arccos ⁡ 5 13 + sin ⁡ arccos ⁡ 5 13 cos ⁡ arcsin ⁡ 4 5

sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13   = 5 13 . 4 15 + sin ⁡ arccos ⁡ 5 13 cos ⁡ arcsin ⁡ 4 5

Passo 4

Agora para sin ⁡ arccos ⁡ 5 13 , temos que:

sin ⁡ arccos ⁡ 5 13 = 1 - cos 2 ⁡ arccos ⁡ 5 13 = 1 - 5 13 2 = 12 13

E para cos ⁡ arcsin ⁡ 4 5 , temos:

cos ⁡ arcsin ⁡ 4 5 = 1 - sin 2 ⁡   ⁡ arcsin ⁡ 4 5 = 1 - 4 5 2 = 3 5

E juntando tudo, temos:

sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13   = 5 13 . 4 15 + sin ⁡ arccos ⁡ 5 13 cos ⁡ arcsin ⁡ 4 5

sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13   = 5 13 . 4 15 + 12 13 . 3 5

sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13   = 56 65

Resposta

  1. cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 = 33 65 .
  2. sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13   = 56 65
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Prove que:
Em cada caso, determine o conjunto ao qual m deve pertencer de modo que exista x, satisfazendo a igualdade: a ) c o t gx = 2 - m b ) sec ⁡ x = 3 m - 2 c ) c o s s e cx = 2 m - 1 1 - 3 m
Determine o domínio e o período das seguintes funções reais: f x = c o t g x - π 3 g x = sec ⁡ 2 x h x = c o s s e c x + π 4
Seja a função f x = cos ⁡ 2 a r c cos ⁡ x ,- 1 ≤ x ≤ 1 . Determine os valores de x tais que f(x) = 0.Esboce o gráfico de g x = 1 f x .
Qual é o período das seguintes funções reais: a) f x = s e nx ⋅ cos ⁡ x