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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 30

30. Dada b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 (a e b são constantes), ache d 2 y d x 2 na forma mais simples.

Passo 1

Para acharmos o resultado dessa derivada de ordem 2 precisamos ter em mente duas coisas:

1 - Teremos que fazer 2 derivadas. Uma da função dada e uma da que conseguiremos através dela, pois a ordem da derivada nos dá essa informação.

2 – Teremos que isolar o y na equação dada para obter uma dependência em x e assim realizar as derivadas. Assim teremos:

y = b a x 2 - a 2 1 2

Passo 2

1ª Derivada: Usaremos a função que nos foi dada inicialmente.

d y d x = d d x b a x 2 - a 2 1 2

= b a 1 2 x 2 - a 2 - 1 2 ⋅ 2 x

= b x a x 2 - a 2 - 1 2

Passo 3

2ª Derivada: Usaremos a função encontrada no final do Passo 2 dentro do nosso conchete.

d d x b x a x 2 - a 2 - 1 2

= d d x b x a ⋅ x 2 - a 2 - 1 2 + b x a ⋅ d d x x 2 - a 2 - 1 2

= b a x 2 - a 2 - 1 2 + b x a - 1 2 x 2 - a 2 - 3 2 ⋅ 2 x

= b a x 2 - a 2 - 1 2 - b x 2 a x 2 - a 2 - 3 2

Passo 4

Para simplificar essa expressão ao máximo, teremos:

= b a x 2 - a 2 1 2 - b x 2 a x 2 - a 2 3 2

Multiplicando o primeiro termo no numerador e no denominador por ( x 2 - a 2 ) :

= b ( x 2 - a 2 ) a x 2 - a 2 1 2 ⋅ ( x 2 - a 2 ) - b x 2 a x 2 - a 2 3 2

= b x 2 - b a 2 a x 2 - a 2 3 2 - b x 2 a x 2 - a 2 3 2

= - b a 2 a x 2 - a 2 3 2 = - b a x 2 - a 2 3 2

Passo 5

Como definimos anteriormente:

y = b a x 2 - a 2 1 2

⇒ y a b = x 2 - a 2 1 2

Assim, a última expressão do passo anterior fica assim:

= - b a y a b 3 = - b a ⋅ b 3 y 3 a 3

= - b 4 y 3 a 2

Passo 6

Prontinho, fizemos as duas derivações necessárias. Agora para o resultado final é só igualar a derivada de ordem 2 dada no enunciado ao resultado da última derivada que fizemos.

d 2 y d x 2 = - b 4 y 3 a 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja y = y (r) derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que(d)/(d r) (y^2 (d y)/(d r)) = 2 y ((d y)/(d r))^2 + y^2 (d^2 y)/(d r^2)
Derive.g) y = cossec 2 x
Seja g: R → R diferenciável e seja f dada por f x = xg x 2 . Verifique que f ' x = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2
Seja y = e α x , onde α é uma raiz da equação λ 2 + a λ + b = 0 , com a e b constantes. Verifique que d 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0
Seja g uma função derivável. Verifique queb) [sec g (x)]^' = sec g (x) tan g (x) * g^' (x)