Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 30
30. Explique, usando os Teoremas 4, 5, 6, 7 ou 9, por que a função é continua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.
Passo 1
Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos descobrir o domínio de e precisamos usar os teoremas 4, 5, 6, 7 ou 9 dessa seção pra explicar porque que a nossa função é contínua em todo o seu domínio!
Maaass temos uma função onde o numerador é uma função trigonométrica e o denominador é uma raiz, então os teoremas que mais vão se encaixar são o 4 e 7!!
A seguir, vamos verificar esses teoremas e aplicar!! 😉
Aah... também queremos definir o domínio dessa função!!
Para isso, precisamos considerar quais valores de são permitidos na expressão da função sem causar divisões por zero, raízes quadradas de números negativos ou outras operações não definidas.
Passo 2
Vamos primeiro olhar os teoremas:
Teorema 4:
Se e forem contínuas em e se for uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em :
se
Teorema 7:
Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios:
Polinômios
Funções racionais
Funções raízes
Funções trigonométricas
Funções exponenciais
Funções trigonométricas inversas
Funções logarítmicas
O nosso caso é uma função do tipo
se
Com sendo uma função trigonométrica e uma função raiz!
Assim, pelo teorema 7, podemos afirmar que a função será continua em todo seu domínio, pois é uma função trigonométrica.
Em outras palavras, como e são contínuas, então também será!!
Além disso, podemos afirmar que a função também será pois ela é uma função raiz.
Passo 3
Agora vamos definir o domínio:
Olhando pro denominador, não podemos ter raiz negativa e ele também deve ser diferente de zero, se não teremos indeterminação, então:
Temos que:
Para a tangente ser definida temos que ter , se não também temos divisão por zero! Portanto:
Juntando as restrições temos que: