30. Explique, usando os Teoremas 4, 5, 6, 7 ou 9, por que a função é continua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.

B(x) = t * g(x) / raiz(4 - x^2)

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:

B x = t g x 4 - x 2

Queremos descobrir o domínio de B x e precisamos usar os teoremas 4, 5, 6, 7 ou 9 dessa seção 2.5 pra explicar porque que a nossa função é contínua em todo o seu domínio!

Maaass temos uma função onde o numerador é uma função trigonométrica e o denominador é uma raiz, então os teoremas que mais vão se encaixar são o 4 e 7!!

A seguir, vamos verificar esses teoremas e aplicar!! 😉

Aah... também queremos definir o domínio dessa função!!

Para isso, precisamos considerar quais valores de x são permitidos na expressão da função sem causar divisões por zero, raízes quadradas de números negativos ou outras operações não definidas.

Passo 2

Vamos primeiro olhar os teoremas:

Teorema 4:

Se f e t forem contínuas em a e se c for uma constante, então as seguintes funções também são contínuas em a :

f + g

f - g

c f

f g

f g se g ( a ) ≠ 0

Teorema 7:

Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios:

Polinômios

Funções racionais

Funções raízes

Funções trigonométricas

Funções exponenciais

Funções trigonométricas inversas

Funções logarítmicas

O nosso caso é uma função do tipo

f g se g ( a ) ≠ 0

Com f ( x ) sendo uma função trigonométrica e g ( x ) uma função raiz!

Assim, pelo teorema 7, podemos afirmar que a função t g ( x ) será continua em todo seu domínio, pois é uma função trigonométrica.

Em outras palavras, como f e g são contínuas, então B também será!!

Além disso, podemos afirmar que a função 4 - x 2   também será pois ela é uma função raiz.

Passo 3

Agora vamos definir o domínio:

B x = t g x 4 - x 2

Olhando pro denominador, não podemos ter raiz negativa e ele também deve ser diferente de zero, se não teremos indeterminação, então:

4 - x 2 > 0

- 2 < x < 2

Temos que:

t g   x = sin ⁡ x cos ⁡ x  

Para a tangente ser definida temos que ter cos ⁡ x ≠ 0 , se não também temos divisão por zero! Portanto:

cos ⁡ x ≠ 0 → x ≠ π 2 + k π ,       k ∈ Z

Juntando as restrições temos que:

D B = R - π 2 + k π ,       k ∈ Z - ( - 2,2 )

Resposta

D B = R - π 2 + k π ,       k ∈ Z - ( - 2,2 )

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