Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

O primeiro passo é definir o domínio de , isto é, o conjunto dos valores de para os quais está definida.

Temos neste caso que o denominador não é definido se for igual a zero, então podemos escrever que:

Fatorando, ficamos com:

E resolvendo para cada fator, teremos:

Assim, temos que:

Agora devemos definir as intersecções com os eixos.

Para o eixo a interseção é dada por e para o eixo fazemos e isolamos o .

Assim, temos que:

Como o denominador nunca pode zerar, podemos nos preocupar apenas com o numerado. Assim, se fatorarmos o numerador, ficamos com:

Então podemos concluir que:

Como a função não é definida para , temos que o eixo é interceptado somente em .

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

(I) Se para todo em , é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo . Caso isso ocorra basta refletir a curva em torno do eixo para obter a curva completa.

(II) Se para todo em , é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva em em torno da origem para obter a curva completa.

(III) Se para todo em , onde é uma constante positiva, é uma função periódica e o menor desses números é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Para esta função, tomando um valor qualquer de percebemos que ela não obedece a nenhum caso, logo não possui simetria.

Devemos verificar agora se a função possui assíntotas:

(I) Assíntota horizontal:

Se então a reta é uma assíntota horizontal da curva .

Se resultar que , então não temos uma assíntota à direita.

(II) Assíntota vertical: a reta é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

Temos:

E colocando o em evidência no numerador e no denominador, teremos:

Que pode ser simplificada para:

Assim, temos uma assíntota horizontal em .

Tomando , temos:

Logo não é assíntota vertical.

Tomando , temos:

Logo, temos uma assíntota vertical em .

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função.

Calculamos e encontramos os intervalos nos quais é positiva ( é crescente) e os intervalos nos quais é negativa ( é decrescente).

Derivando a forma já simplificada da função , temos:

Então, é crescente para , e .

Calcularemos agora os pontos críticos, números em que ou não existe.

Aplicando o Teste da Derivada, se muda de positiva para negativa em um número crítico , então é um máximo local.

Se muda de negativa para positiva em , então é um mínimo local.

Temos que:

Observamos que a equação é satisfeita para e esse ponto não está definido na função, logo a função não possui pontos extremos.

Calcularemos agora a concavidade da função utilizando .

Se a função é côncava para cima e se a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

Então é côncava para baixo com no intervalo de e côncava para cima com nos intervalos e .

Por fim, esboçando a curva obtemos, sabendo que:

eixo é interceptado somente em

não possui simetria

temos uma assíntota horizontal em e uma assíntota vertical em

é crescente para , e

a função não possui pontos extremos

é côncava para baixo com no intervalo de e côncava para cima com nos intervalos e

Entendeu direitinho?? Responde aee😉