32. Explique, usando os Teoremas 4, 5, 6, 7 ou 9, por que a função é continua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.

N(r) = t * g^(-1)(1 + e^(-r^2))

Passo 1

Opa, vamos resolver essa questão! O enunciado nos dá:

N r = t g - 1 1 + e - r 2

Queremos descobrir o domínio de F x e precisamos usar os teoremas 4, 5, 6, 7 ou 9 pra explicar porque que a nossa função é contínua em todo o seu domínio! Antes de qualquer coisa, vamos reescrever a função:

N r = t g - 1 1 + e - r 2 = f g r

Onde:

f r = t g - 1 r

g r = 1 + e - r 2

Quando ele diz t g - 1 ( x ) é basicamente a r c t g ( x ) , valeu?! Então vamos ao que interessa. Como temos uma função trigonométrica inversa e uma função exponencial, podemos usar o teorema 7. Para nos auxiliar, podemos utilizar o teorema 9, pois ele fala sobre função composta!

Passo 2

Primeiro vamos olhar os teoremas:

Teorema 7)

Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios:

  • Polinômios
  • Funções racionais
  • Funções raízes
  • Funções trigonométricas
  • Funções exponenciais
  • Funções trigonométricas inversas
  • Funções logarítmicas

Teorema 9)

Se g for contínua em a e f for contínua em g ( a ) , então a função composta f ( g x ) é contínua em a.

Dando uma outra olhadinha na nossa função:

N r = t g - 1 1 + e - r 2 = f g r

Onde:

f r = t g - 1 r

g r = 1 + e - r 2

f r é uma função trigonométrica inversa e g ( r ) é uma função exponencial, pelo teorema 9 vimos que ambas são contínuas em seus domínios. Como N ( r ) é a composição dessas duas funções a gente vai olhar pro teorema 9 que diz que N ( r ) é contínua quando g ( r ) e f ( r ) são contínuas simultaneamente!

Passo 3

Para o domínio da função N ( x ) , temos:

N x = t g - 1 1 + e - r 2

O domínio de t g - 1 ( x ) é x ∈ R . Logo,

1 + e - r 2 ∈ R

Portanto,

r ∈ R

Ou seja,

D o m N = R

Resposta

D o m N = R

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