Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 32

32. Explique, usando os Teoremas 4, 5, 6, 7 ou 9, por que a função é continua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.

Passo 1

Opa, vamos resolver essa questão! O enunciado nos dá:

Queremos descobrir o domínio de e precisamos usar os teoremas 4, 5, 6, 7 ou 9 pra explicar porque que a nossa função é contínua em todo o seu domínio! Antes de qualquer coisa, vamos reescrever a função:

Onde:

Quando ele diz é basicamente , valeu?! Então vamos ao que interessa. Como temos uma função trigonométrica inversa e uma função exponencial, podemos usar o teorema 7. Para nos auxiliar, podemos utilizar o teorema 9, pois ele fala sobre função composta!

Passo 2

Primeiro vamos olhar os teoremas:

Teorema 7)

Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo o número de seus domínios:

Polinômios
Funções racionais
Funções raízes
Funções trigonométricas
Funções exponenciais
Funções trigonométricas inversas
Funções logarítmicas

Teorema 9)

Se for contínua em e for contínua em , então a função composta é contínua em a.

Dando uma outra olhadinha na nossa função:

Onde:

é uma função trigonométrica inversa e é uma função exponencial, pelo teorema 9 vimos que ambas são contínuas em seus domínios. Como é a composição dessas duas funções a gente vai olhar pro teorema 9 que diz que é contínua quando e são contínuas simultaneamente!