41-42 (a) Complete a tabela e dê uma estimativa para o limite indicado. (b) Encontre o valor exato do limite.

42- f x = s e n x 2 + 3 x + 2 x + 2 ;     lim x → - 2 ⁡ f ( x )

Passo 1

a)Gente, esse item é muito tranquilo, vamos substituir os valores de x indicados na função e descobrir o f ( x ) correspondente.

-Para x =   - 2,1 , temos:

f - 2,1 = s e n 0,11 - 0,1 = - 1,09

-Para x =   - 2,01   , temos:

f - 2,01 = s e n 0,0101 - 0,01 = - 1,01

-Para x = - 2 , 001 , temos:

f - 2,001 = s e n 1 × 10 - 3 - 0,001 = - 0 , 999

-Para x = - 1 , 999 , temos:

f - 1,999 = s e n - 9,99 × 10 - 4 0,001 = - 0 , 998

-Para x = - 1,99 , temos:

f - 1,99 = s e n - 9,9 × 10 - 3 0,01 = - 0,989

-Para x   =   - 1,9 , temos:

f - 1,9 = s e n ( - 0,09 ) 0,1 = - 0 , 89

Dessa forma,

Podemos concluir que o valor desse limite está próximo de - 1 .

Passo 2

b)Temos que:

lim x → - 2 ⁡ s e n x 2 + 3 x + 2 x + 2

Achando as raízes do argumento da função seno:

x + 2 ( x + 1 )

lim x → - 2 ⁡ s e n ( x + 2 x + 1 ) x + 2

O que nós temos que fazer agora é tentar usar esse Teorema:

lim x → - 2 ⁡ s e n x x = 1

Mas, claro que, antes de usarmos esse teorema, vamos ter que ajustar o nosso limite.

Fazendo uma substituição:

x + 2 = u

Lembrando que:

x → - 2 , u → 0

Ainda temos que:

x + 1 = u - 1

Substituindo:

lim u → 0 ⁡ s e n ( u u - 1 ) u

Passo 3

Agora, vamos multiplicar e dividir a fração por u - 1 , para que o argumento da função seno seja igual ao denominador:

lim u → 0 ⁡ s e n ( u u - 1 ) u ( u - 1 ) × ( u - 1 )

lim u → 0 ⁡ s e n ( u u - 1 ) u ( u - 1 ) × l i m u → 0   ( u - 1 )

Resolvendo o primeiro limite:

lim u → 0 ⁡ s e n ( u u - 1 ) u ( u - 1 ) = 1

Resolvendo o segundo limite, temos:

l i m u → 0   u - 1 = - 1

Dessa forma,

lim x → - 2 ⁡ s e n x 2 + 3 x + 2 x + 2 = 1 × - 1 = - 1

Resposta

a)

O valor do limite está próximo de - 1 .

b) - 1

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