Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 30
30. Mostre que é possível representar por um número a medida da área da região limitada pela curva cuja equação é , pela reta e pelos eixos e ; mas que não é possível representar por um número finito o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo x.
Passo 1
Para mostrar que a área da região limitada pela curva e pelas retas dadas pode ser representada por um número, devemos mostrar que a integral que nos fornece a área de uma região converge para um número, que será o valor da área.
Já com relação ao volume do sólido obtido por revolução, basta mostrar que a integral que nos fornece o volume do sólido em questão diverge.
Passo 2
Assim, a área da região pode ser obtida da seguinte forma:
Logo, como a integral que representa a área é convergente, a medida da área pode ser representada por um número.
Passo 3
Assim, o volume da região pode ser obtida da seguinte forma:
Logo, como a integral que representa o volume do sólido é divergente, não é possível representar por um número finito o volume do sólido.
Resposta
Demonstração.