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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.Exercícios Práticos - Ex. 56

Calcule as integrais impróprias.

Passo 1

Olhando à primeira vista, essa integral não parece uma integral imprópria, mas vamos abrir as contas para ficar mais claro, ok?

int_(- 2)^(oo) (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5))) = int_(- 2)^(- 1) (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5))) + int_(- 1)^2 (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5))) + int_2^(oo) (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5)))

Perceba que temos dois problemas: quando x = - 1 e quando x tende à infinito. E então, essa integral diverge quando uma das integrais diverge. Vamos analisar cada um delas, então.

int_(- 2)^(- 1) (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5))) = underset(b -> - 1^-)(lim) int_(- 2)^b (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5))) = underset(b -> - 1^-)(lim) [(theta + 1)^((2)/(3) )]_(- 2)^b = 1

E,

int_(- 1)^2 (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5))) = underset(b -> - 1^(+ ))(l i m) int_b^2 (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5))) underset(b -> - 1^+)(lim) [(theta + 1)^((2)/(3) )]_(- 2)^b = 1

Porém,

int_2^(oo) (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5))) = underset(b -> oo)(l i m) int_2^b (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5))) = underset(b -> oo)(l i m) [(theta + 1)^((2)/(3) )] = oo

Resposta

int_(- 2)^(oo) (d theta)/((theta + 1)^((3)/(5))) diverge.

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Calcule a intefral abaixo sem usar tabela:int_(- 1)^(oo) (d theta)/(theta^2 + 5 theta + 6)
Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a. ∫ 1 ∞ ln ⁡ xd x