Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.5 - Ex. 21
Encontre a derivada da função.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:
E pede pra gente encontrar a sua derivada.
A ideai para resolver questões dessas é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?
Observe que essa função é formada por um produto entre duas funções diferentes.
Podemos pensar dessa forma, sendo:
Assim, nossa função se torna:
Sendo assim, a regra que deve ser usada para fazer essa derivação é a regra do produto.
Quando temos o produto entre duas funções a regra é essa aqui:
Perceba que cada parcela é formada pelo produto entre as duas funções, sendo que em cada um deles uma delas ganhará a derivação.
Mas ainda temos um detalhe importante para observar. A parte que chamamos de é uma função composta. Observe:
Ela pode ser vista como
Onde
Ou seja, temos uma função dentro da outra. E para casos desse tipo, precisaremos usar a regra da cadeia. Que é essa aqui:
E precisaremos dela para resolver tudo.
Agora que sabemos que regra usar, basta fazer a substituição de cada item na fórmula.
Então, partiu aplicar essa regra juntinho comigo.
Passo 2
O que precisamos fazer é derivar a função dada por:
Ou seja, faremos:
Como a função é um produto, vamos ter:
Como precisaremos das derivadas, fazemos:
E para usaremos a regra da cadeia. Assim:
Agora que já temos tudo que precisávamos, basta juntar cada pedacinho na regra do produto.
Passo 3
Assim, nossa derivada se torna:
E substituindo, teremos:
Organizando um pouco melhor nossa resposta, teremos:
E prontinho. Derivada com sucesso!