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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.4 - Ex. 3

Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede 10 / 1 + x 2 libras em um ponto a x e pés da origem. Calcule o trabalho realizado ao mover a partícula da origem até a distância de 9 pés.

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade de aplicação de integrais.

Aqui temos um caso em que a força aplicada a uma particula depender de uma equação, e está força não é constante. Sendo assim, devemos aplicar a integral para podermos calcular o trabalho pedido.

Por definição temos que o trabalho feito no movimento de um objeto de a para b pode ser calculado como:

W = lim x → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i * ∆ x = ∫ a b f x d x  

A nossa função f é dada por f x = 10 / 1 + x 2 , assim podemos escrever que:

W = ∫ 0 9 10 / 1 + x 2 d x

Passo 2

Tirando a constante da integral e integrando temos:

∫ 0 9 10 1 + 𝑥 2 𝑑 𝑥 = 10 ∫ 0 9 1 + 𝑥 − 2

Substituindo:

1 + 𝑥 = 𝑢    

𝑑 𝑥 = 𝑑 𝑢  

10   ∫     𝑢 − 2 𝑑 𝑢

10     − 1 𝑢

10 − 1 𝑥 + 1 0 9

10 − 1 10 − 10 − 1 1

9  

Lembre-se que a integral de um polinômio é dada por:

∫ x n   d x = x n - 1 n - 1

Passo 3

Logo o trabalho realizado da partícula ao longo do eixo x é de 𝑊 = 9   𝑝 𝑒 𝑠 𝑙 𝑏 .

Resposta

𝑊 = 9   𝑝 𝑒 𝑠 𝑙 𝑏

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