Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 6.4 - Ex. 14
14. Um grosso cabo, com de comprimento e pesando . Suspenso por um guincho e um guindaste. Calcule de dois modos diferentes o trabalho feito se o guincho enrola do cabo.
(a) Siga o método do exemplo .
(b) Escreva uma função para o peso do cabo remanescente depois que pés tenham sido enrolados pelo gancho. Estime o aumento do trabalho feito quando o guincho puxa para cima do cabo.
Passo 1
Iremos admitir que o ponto onde o cabo é suspenso tem coordenada e o ponto mais baixo tem ordenada . Iremos usar essas duas informações nas letras (a) e (b). E calcularemos aqui, o valor do peso por cada pé do cabo, seria a densidade linear do fio:
Passo 2
Procederemos como no exemplo , então calcularemos a força distância de um pequeno elemento do fio ():
Se pensarmos em todos os elementos e o tamanho do elemento do fio tendendo a zero, pois assim pegaremos o menor elementinho, teremos, lembrando que o cabo só enrolado de .
No final passaremos tudo para joule, por enquanto vamos nos preocupar com o cálculo apenas.
Passo 3
Agora faremos pelo método (b).
Se o guincho puxou pés do cabo, então sobraram do mesmo cabo, pois o cabo tem .
O peso do cabo remanescente será, lembra que é o peso por pés hein!!
E o trabalho a mais seria:
Então para calcularmos todo o trabalho, teríamos que fazer de a integral da função acima e sabendo que, e os limites de integração mudam, pois iremos puxar o cabo e deixaremos apenas de . Então esses serão os limites de integração!
Olhaaaa! Os dois trabalhos deram iguais! Ou temos muita sorte, ou estamos certo! E estamos certo!
Vamos apenas passar o trabalho para joule, .
Entãoo,
Resposta
(a)
(b)