31-34. Use o Teorema 5.5.5 para calcular as integrais dadas.

32. a) ∫ - 1 2 2 + x d x

Passo 1

Então pessoal, antes de resolvermos a integral que nos foi dada vamos relembrar do que se trata o Teorema 5.5.5, tudo bem? Show! Ele nos diz o seguinte:

“Se f for integrável em um intervalo fechado contendo os três pontos a ,   b   e   c , então:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x

Não importando como os pontos estejam ordenados.”

Tendo isso em vista, agora vamos tentar aplicar essa ideia no nosso problema!

Passo 2

A integral que nos foi dada é a seguinte:

∫ - 1 2 2 + x d x

Esse módulo é um problema pra gente, então o que devemos fazer é retirá-lo assumindo algumas restrições, saca só:

f x = 2 + x = 2 + x ,     0 ≤ x ≤ 2 2 - x ,     - 1 ≤ x ≤ 0

Feito isso, agora sim podemos aplicar o Teorema 5.5.5 que enunciamos no passo 1. Utilizando-o, teremos:

∫ - 1 2 2 + x d x = ∫ - 1 0 2 - x d x + ∫ 0 2 2 + x d x

Show!

Passo 3

Então pessoal, a fim de facilitar nossa visualização vamos resolver uma integral de cada vez, tudo bem? Massa! Para a primeira integral vamos utilizar uma substituição de variável simples, ó:

u = 2 - x

- d u = d x

Substituindo, teremos:

- ∫ - 1 0 u 1 2 d u

Agora aplicando essa regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Teremos:

- ∫ - 1 0 u 1 2 d u = - 2 3 u 3 2 0 - 1 = - 2 3 2 - x 3 2 0 - 1

E para a segunda integral também vamos utilizar uma substituição de variável simples, se liga:

u = 2 + x

d u = d x

Substituindo, teremos:

∫ 0 2 u 1 2 d u

Utilizando a regrinha supracitada:

∫ 0 2 u 1 2 d u = 2 3 u 3 2 2 0 = 2 3 2 + x 3 2 2 0

Passo 4

Agora que encontramos o resultado das integrais separadamente, vamos juntar tudo de novo, se liga:

∫ - 1 2 2 + x d x = - 2 3 2 - x 3 2 0 - 1 + 2 3 2 + x 3 2 2 0

Por fim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, isto é, aplicando os limites de integração:

- 2 3 2 - x 3 2 0 - 1 + 2 3 2 + x 3 2 2 0 = 2 3 8 - 4 2 + 3 3

∴ ∫ - 1 2 2 + x d x = 2 3 8 - 4 2 + 3 3

E está aí nosso resultado! 😉

Resposta

∫ - 1 2 2 + x d x = 2 3 8 - 4 2 + 3 3

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