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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 76

75. A altura H   ( p é s ) de uma palmeira depois de crescer por t anos é dada por

H = t + 1 + 5 t 1 / 3         p a r a         0 ≤ t ≤ 8 .

a. Determine a altura da árvore quando t = 0 , t = 4 e t = 8 .

b. Determine a altura média do quarto para 0 ≤ t ≤ 8 .

Passo 1

a.

Facinho de resolver a letra (a), apenas precisamos substituir t na fórmula:

Para t = 0 :

H 0 = 0 + 1 + 5 0 1 / 3

H 0 = 1 + 0

H 0 = 1   p é

Para t = 4 :

H 4 = 4 + 1 + 5 4 1 / 3

H 4 = 5 + 5 4 3

H 4 ≈ 10,17   p é s

E para t = 8

H 8 = 8 + 1 + 5 8 1 / 3

H 8 = 9 + 5 8 3

H 8 = 3 + 5 2

H 8 = 13   p é s

Passo 2

b.

A altura média é igual a área sob a curva da função H dividida pelo tamanho da base. Então vamos integrar a função de 0 até 8 e dividí-la por 8 - 0 = 8 .

H m = 1 8 ∫ 0 8 t + 1 + 5 t 1 / 3 d t

Observe que se derivarmos 2 3 t + 1 3 / 2 , vamos obter t + 1 1 / 2 , logo, a integral fica:

H m = 1 8 2 3 t + 1 3 2 + 5 3 4 t 4 / 3 0 8

H m = 1 8 2 3 8 + 1 3 2 + 5 3 4 8 4 / 3 - 1 8 2 3 0 + 1 3 2 + 5 3 4 0 4 / 3

H m = 1 8 1 8 + 60 - 1 8 2 3

H m = 9 , 7 5 - 0,08

H m = 9 , 67   p é s

Resposta

a.

Para t = 0 : H 0 = 1   p é

Para t = 4 : H 4 ≈ 10,17   p é s

E para t = 8 : H 8 = 13   p é s

b.

H m = 9,67   p é s

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